W walec o promieniu podstawy długości $10 \mathrm{cm}$ i wysokości $24 \mathrm{cm}$ wpisano stożek. Obliczmy pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie

1) Wykonujemy rysunek przedstawiający tę sytuację. Wygodnie jest narysować przekrój osiowyprzekrój osiowy stożkaprzekrój osiowy odpowiednio ułożonych brył. Rysunek powinien być czytelny.

RECSRtpsi91VY

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Na środkach pary krótszych boków zaznaczono punkty. Odpowiednio punkt O na boku $AB$ oraz punkt S na boku $DC$. Zaznaczono trójkąt $ABS$ znajdujący się wewnątrz prostokąta. Linią przerywaną zaznaczono wysokość $SO$, którą oznaczono wielką literą H. Odcinek $OB$ Oznaczono literą r.

2) Przyjmujemy oznaczenia.

$\left|OB\right|=r$ długość promienia podstawy walca i stożka,
$\left|OS\right|=H$ długość wysokości walca i stożka.

3) Pole powierzchni bocznej stożka obliczymy ze wzoru $P_b=\pi rl$, gdzie $l$ oznacza długość tworzącej stożka, w tym przypadku to długość odcinka $BS$.

4) Z trójkąta $OBS$ i twierdzenia Pitagorasa mamy $H^2+r^2=l^2$, zatem ${24}^2+{10}^2=l^2$, stąd $l=26 \left[\mathrm{cm}\right]$.

5) Pole boczne stożka wynosi $P_b=\pi \cdot 10\cdot 26=260\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.

W walec wpisano stożek. Tworząca stożka ma długość $17 \mathrm{cm}$ a średnica podstawy walca ma długość $30 \mathrm{cm}$. Wyznaczmy cosinus kąta rozwarcia stożka. Uzasadnimy, że jest to kąt rozwarty.

Rozwiązanie

1) Wykonujemy czytelny rysunek. Wystarczy narysować przekrój osiowy tych brył.

RdvV8dLCp9Yyu

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Na dłuższym boku $DC$ zaznaczono punkt S, stanowiący jego środek. Zaznaczono trójkąt $ASB$, którego długość podstawy $AB$ wynosi $2r$, natomiast długości ramion wynoszą l. $\angle ASB$ oznaczono przez alfa.

2) Przyjmijmy oznaczenia:
$\left|AB\right|=2r$ długość średnicy podstawy walca i podstawy stożka,
$\left|BS\right|=\left|AS\right|=l$ długość tworzącej stożka.

Zadanie możemy rozwiązać dwoma sposobami:

$\text{I}$ sposób:

Z trójkąta $ABS$ i twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów wyznaczymy kąt rozwarcia stożka $\alpha$.

Mamy zatem ${\left(2r\right)}^2=l^2+l^2-2l^2\cos \alpha$, po podstawieniu otrzymujemy odpowiednio $900=289+289-2·289·\cos \alpha$. Stąd $\cos \alpha =-\frac{322}{578}=-\frac{161}{289}$.

Ponieważ $\cos \alpha <0$, to kąt rozwarcia stożka $\alpha$ jest kątem rozwartym.

$\text{II}$ sposób:

Poprowadźmy wysokość stożka $SO$, gdzie punkt $O$ jest środkiem podstawy stożka.

R9T9KhATlC3Go

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Na środkach pary dłuższych boków zaznaczono punkty. Odpowiednio punkt O na boku $AB$ oraz punkt S na boku $DC$. Zaznaczono trójkąt $ASB$, którego długość podstawy $AB$ wynosi $2r$. Linią przerywaną zaznaczono wysokość $SC$, którą oznaczono wielką literą H. Odcinek $OB$ Oznaczono literą r. $\angle ASB$ oznaczono przez alfa, natomiast $\angle OSB$ oznaczono przez beta.

Zauważmy, że kąt $\alpha =2\beta$ i ze wzoru na cosinus kąta podwojonego mamy $\cos 2\beta =1-2{\sin }^2\beta$ oraz trójkąta $OBS$ mamy $\sin \beta =\frac{15}{17}$. Wynika stąd, że $\cos \alpha =\cos 2\beta =1-2{\sin }^2\beta =1-2·{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=-\frac{161}{289}$.

Ponieważ $\cos \alpha <0$, to kąt rozwarcia stożka $\alpha$ jest kątem rozwartym.

W walec wpisano stożek. Kąt rozwarcia stożka jest kątem prostym, zaś wysokość walca ma długość $12 \mathrm{cm}$. Obliczmy różnicę pomiędzy polem powierzchni całkowitej walca i polem powierzchni całkowitej stożka.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy bryły.

R1BKp9LOr59sA

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Na dłuższym boku $DC$ zaznaczono punkt S, stanowiący jego środek. Zaznaczono trójkąt $ASB$, którego długość podstawy $AB$ wynosi $2r$, natomiast długości ramion wynoszą l. W połowie boku A B zaznaczono punk O i przerywaną linią zaznaczono wysokość S O  trójkąta A S B .$\angle ASB$ wynosi 90 stopni.

Przyjmujemy oznaczenia.

$\left|OB\right|=r$ długość podstawy stożka i walca,

$\left|OS\right|=H$ długość wysokości walca i stożka,

$\left|BS\right|=l$ długość tworzącej stożka,

$\left|\sphericalangle ASB\right|={90}^{\circ }$ miara kąta rozwarcia stożka.

Zauważmy, że trójkąt $OBS$ jest trójkątem równoramiennym, zatem $\left|OS\right|=\left|OB\right|=12$ i $\left|BS\right|=12\sqrt{2}$.

Pole powierzchni całkowitej walca obliczymy ze wzoru $P_{cw}=2\pi r\left(r+H\right)$, stąd $P_{cw}=2\pi ·12·\left(12+12\right)=576\pi$.

Pole powierzchni całkowitej stożka obliczymy ze wzoru $P_{cs}=\pi r\left(r+l\right)$, $P_{cs}=\pi \cdot 12\cdot \left(12+12\sqrt{2}\right)=144\pi +144\sqrt{2}\pi$.

Różnica pomiędzy polem powierzchni całkowitej walca a polem powierzchni całkowitej stożka wynosi $P_{cw}-P_{cs}=576\pi -144\pi -144\sqrt{2}\pi =\left(432-144\sqrt{2}\right)\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.

W walec wpisano stożek o wysokości długości $H$. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe polu powierzchni bocznej walca. Wyznaczmy objętość walca.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy bryły.

R1196DK2YlcZ6

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Na środkach pary krótszych boków zaznaczono punkty. Odpowiednio punkt O na boku $AB$ oraz punkt S na boku $DC$. Zaznaczono trójkąt $ABS$ znajdujący się wewnątrz prostokąta, którego długość ramienia oznaczono literą l. Linią przerywaną zaznaczono wysokość $SO$, którą oznaczono wielką literą H. Odcinek $OB$ Oznaczono literą r.

Przyjmujemy oznaczenia.

$\left|OB\right|=r$ długość podstawy stożka i walca,

$\left|OS\right|=H$ długość wysokości walca i stożka,

$\left|BS\right|=l$ długość tworzącej stożka.

Pole powierzchni bocznej walca wyrażamy wzorem $P_{bw}=2\pi rH$ oraz pole powierzchni bocznej stożka wzorem $P_{bs}=\pi rl$.

Z warunków zadania otrzymujemy zależność $2\pi rH=\pi rl$, stąd mamy $2H=l$.

Objętość walca obliczymy ze wzoru $V_w=\pi r^{2}H$. Zauważmy, że z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $OBS$ mamy $H^2+r^2=l^2$.

Zatem z układu warunków $2H=l$ i $H^2+r^2=l^2$ otrzymujemy $H^2+r^2=4H^2$, a stąd $r^2=3H^2$.

Objętość walca zatem jest równa $V_w=\pi ·3H^2·H=3\pi H^3$.

W walec wpisano stożek. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe polu powierzchni bocznej walca. Wyznaczmy miarę kąta rozwarcia stożka.

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy bryły.

RZibotljyUF94

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Na środkach pary krótszych boków zaznaczono punkty. Odpowiednio punkt O na boku $AB$ oraz punkt S na boku $DC$. Zaznaczono trójkąt $ABS$ znajdujący się wewnątrz prostokąta, którego długość ramienia oznaczono literą l. Linią przerywaną zaznaczono wysokość $SO$, którą oznaczono wielką literą H. Odcinek $OB$ Oznaczono literą r. $\angle ASB$ oznaczono przez alfa.

Przyjmujemy oznaczenia.

$\left|OB\right|=r$ długość podstawy stożka i walca,

$\left|OS\right|=H$ długość wysokości walca i stożka,

$\left|BS\right|=l$ długość tworzącej stożka.

Kąt rozwarcia stożka, który mamy wyznaczyć to $\sphericalangle ASB$. Przyjmijmy, że $\left|\sphericalangle ASB\right|=\alpha$.

Wyznaczymy miarę kąta rozwarcia stożka dwoma metodami.

$\text{I}$ metoda

Z warunków zadania otrzymujemy zależność $2\pi rH=\pi rl$, stąd mamy $2H=l$.

Zauważmy, że z twierdzenia Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenia Pitagorasa, mamy $H^2+r^2=l^2$, zatem $H^2+r^2=4H^2$, a stąd $r^2=3H^2$.

Określmy $\cos \alpha$ stosując twierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusów dla trójkąta $ABS$. Mamy zatem ${\left(2r\right)}^2=l^2+l^2-2l^2\cos \alpha$. Podstawiając odpowiednio otrzymujemy zależność $4·3H^2=2·4H^2-2·4H^2\cos \alpha$, stąd $12H^2=8H^2-8H^2\cos \alpha$, zatem $\cos \alpha =-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$, stąd $\alpha =120°$.

$\text{II}$ metoda

Przyjmijmy $\left|\sphericalangle OSB\right|=\beta =\frac{1}{2}\alpha$. W trójkącie prostokątnym $OBS$ mamy zależność $\cos \beta =\frac{H}{l}$.

Z warunków zadania otrzymujemy zależność $2\pi rH=\pi rl$, stąd mamy $2H=l$.

Zatem $\cos \beta =\frac{H}{2H}=\frac{1}{2}$. Otrzymujemy $\beta =60°$, a stąd $\alpha =120°$.

Kąt rozwarcia stożka $\alpha$ jest kątem rozwartym o mierze $\alpha =120°$.

przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca. Przekrój osiowy walca jest prostokątem

w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

$a^2+b^2=c^2$

zależność opisująca cosinus miary kąta podwojonego

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$