Aplet

Polecenie 1

Rozważmy trójkąt prostokątny obracający się wokół prostej równoległej do jednej z przyprostokątnych i przechodzącej przez wierzchołek trójkąta nienależący do tej przyprostokątnej. Jaką bryłę otrzymamy w wyniku takiego obrotu?

Porównaj swoją odpowiedź z obrotem przedstawionym w poniższym aplecie.

Aby otrzymać różne rodzaje trójkąta, zmieniaj położenie punktu $S$ . Obserwuj jaka bryła powstanie w wyniku takiego obrotu.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu i spróbuj na jego podstawie odpowiedzieć na pytanie.

Rreh64T3qOwHd

Polecenie 2

Rozważmy trójkąt prostokątny $A B C$ (jak na rysunku), gdzie $|A C| = 10 cm$ oraz $|∢ A B C| = α$ . Trójkąt ten obracamy wokół prostej równoległej do przyprostokątnej $A C$ i przechodzącej przez wierzchołek $B$ . Oblicz objętość powstałej bryły.

RjqWaRT3dWnD2

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC. Długość przyprostokątnej AC wynosi dziesięć. Kąt między przyprostokątną BC a przeciwprostokątną AB oznaczono alfa.

Wykreślmy przekrój osiowy bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego $A B C$ wokół opisanej w zadaniu prostej.

RwWmvdd5R1RB6

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Narysowano trójkąt A'B'C' stanowiący lustrzane odbicie trójkąta ABC. Wierzchołki B i B prim pokrywają się, natomiast wierzchołek A prim oraz C prim odbito względem prostej stanowiącej oś obrotu. Oś obrotu jest równoległa do przyprostokątnej AC i A'C' oraz przechodzi przez wierzchołki B i B prim.

Zauważmy, że objętość powstałej bryły to objętość walca pomniejszona o objętość stożka wpisanego w ten walec. Ponadto, długość promienia podstawy walca, z którego wycięto stożek jest równa długości promienia tego stożka. Także długość wysokości rozważanego walca i stożka jest taka sama. Zatem objętość powstałej bryły to:

$V_{B} = π r^{2} H - \frac{1}{3} π r^{2} H = \frac{2}{3} π r^{2} H$

Wysokość walca i stożka to odcinek $A C$ , natomiast promień ich wspólnej podstawy to odcinek $B C$ . Z definicji funkcji trygonometrycznej w trójkącie $A B C$ mamy $tg α = \frac{10}{|B C|}$ . Zatem $|B C| = \frac{10}{tg α}$ , stąd po podstawieniu otrzymujemy $V_{B} = \frac{2}{3} π \cdot {(\frac{10}{tg α})}^{2} \cdot 10 = \frac{2000 π}{3 {tg}^{2} α} [{cm}^{3}]$ .

Polecenie 3

Trójkąt $A B C$ przedstawiony na rysunku obraca się wokół prostej równoległej do boku $A B$ i przechodzącej przez punkt $C$ . Wiedząc, że $|B C| = 14 cm$ , $|A C| = 8 cm$ i $|A B| = 18 cm$ , oblicz objętość bryły powstałej w wyniku tego obrotu.

R14VnIkS5odY6

Na ilustracji przedstawiono trójkąt różnoboczny A B C.

Wykreślamy przekrój osiowy bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta $A B C$ wokół opisanej prostej.

R3MXJLTY84mvv

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC o bokach długości AB=18, AC=8 oraz BC=14. Narysowano trójkąt A'B'C' stanowiący lustrzane odbicie trójkąta ABC. Wierzchołki C i C prim pokrywają się, natomiast wierzchołek A prim oraz B prim odbito względem prostej SO, równoległej do boku AB i A'B', przechodzącej przez wierzchołek C i C prim.

Zauważmy, że objętość powstałej bryły to objętość walca o wysokości $A B$ i promieniu $B O$ pomniejszona o objętości stożków o wysokościach odpowiednio $O C$ i $S C$ oraz promieniu $B O$ .

Stąd mamy:

$V_{B} = π r^{2} \cdot 18 - \frac{1}{3} π r^{2} \cdot |O C| - \frac{1}{3} π r^{2} \cdot |S C| = 18 π r^{2} - \frac{1}{3} π r^{2} (|O C| + |S C|) =$ $= 18 π r^{2} - \frac{1}{3} π r^{2} \cdot 18 = \frac{2}{3} π r^{2} \cdot 18 = 12 π r^{2}$

Długość promienia walca obliczymy jako długość wysokości trójkąta $A B C$ poprowadzonej z wierzchołka $C$ . Wykorzystamy zasadę porównywania pól. Ze wzoru Herona na pole trójkąta mamy $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p = \frac{a + b + c}{2} = 20$ , stąd $P = \sqrt{20 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 12} = 24 \sqrt{5} [{cm}^{2}]$ .

Korzystając z klasycznego wzoru na pole trójkąta mamy $P = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot r$ . Wynika stąd równość $9 r = 24 \sqrt{5}$ , stąd $r = \frac{24 \sqrt{5}}{9} = \frac{8 \sqrt{5}}{3}$ . Zatem objętość powstałej bryły wynosi $V_{B} = \frac{2}{3} π \cdot {(\frac{8 \sqrt{5}}{3})}^{2} \cdot 18 = \frac{1280}{3} π [{cm}^{3}]$ .

Polecenie 4

W walcu wydrążono stożki (patrz aplet powyżej). Udowodnij, że objętość części walca pozostałego po wydrążeniu stożków jest niezależna od wyboru długości wysokości tych stożków.

Objętość części walca pozostałej po wydrążeniu stożków jest opisana zależnością $V = π r^{2} H - (\frac{1}{3} π r^{2} H_{1} + \frac{1}{3} π r^{2} H_{2})$ .

Zauważmy, że $V = π r^{2} H - \frac{1}{3} π r^{2} (H_{1} + H_{2}) = π r^{2} H - \frac{1}{3} π r^{2} H = \frac{2}{3} π r^{2} H$

Stąd wynika, że objętość części walca pozostałej po wydrążeniu stożków nie zależy od doboru długości wysokości stożków, a jedynie od wymiarów walca.

Przeczytaj

Sprawdź się