R14Fg0cpb8Khm

Na ilustracji przedstawiono kwadrat $ABCD$ o boku długości H. Zaznaczono punkty stanowiące środki przeciwległych boków. Punkt S na boku $CD$ oraz punkt O na boku $AB$. Zaznaczono trójkąt $ASB$, którego ramię ma długość $4\sqrt{5}$. Linią przerywaną zaznaczono odcinek łączący punkty S i O, prostopadły do boku $AB$.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $OBS$ mamy $H^2+{\left(\frac{1}{2}H\right)}^2={\left(4\sqrt{5}\right)}^2$, stąd $H=8$ i $r=4$.

Objętość walca obliczymy ze wzoru $V_w=\pi r^{2}H=128\pi \left[{\mathrm{cm}}^3\right]$.

Wykreślamy przekrój osiowy odpowiednich brył i przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

RBLAV7JmgFMpo

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Zaznaczono punkty stanowiące środki dłuższych boków. Punkt S na boku $CD$ oraz punkt O na boku $AB$. Zaznaczono trójkąt $ASB$, którego długość ramienia oznaczono literą l. Linią przerywaną zaznaczono wysokość trójkąta oznaczoną H, która łączy punkty S i O. $\angle ASB$ wynosi alfa, natomiast długość odcinka $OB$ oznaczono literą r.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $ABS$ mamy zależność ${\left(2r\right)}^2=2l^2-2l^2\cos \alpha$, po podstawieniu otrzymujemy $8^2=2l^2-2l^2\cos 150°$, stąd $64=2l^2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, zatem $l=8\sqrt{2-\sqrt{3}}$. Ponieważ z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $OBS$ otrzymujemy $H^2+r^2=l^2$, stąd $H^2=64\left(2-\sqrt{3}\right)-16$, zatem $H=4\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Objętość walca obliczamy ze wzoru $V=\pi r^{2}H=\pi \cdot 16\cdot 4\sqrt{7-4\sqrt{3}}=64\sqrt{7-4\sqrt{3}}\pi \left[{\mathrm{cm}}^3\right]$.

R1K2R2OCgThhR

Na ilustracji przedstawiono prostokąt $ABCD$. Zaznaczono punkty stanowiące środki krótszych boków. Punkt S na boku $CD$ oraz punkt O na boku $AB$. Zaznaczono trójkąt $ASB$, którego długość ramienia oznaczono literą l. Linią przerywaną zaznaczono wysokość trójkąta oznaczoną H, która łączy punkty S i O. Długość odcinka $OB$ oznaczono literą r.

Przyjmujemy oznaczenia.

$\left|OB\right|=r$ długość podstawy stożka i walca,

$\left|OS\right|=H$ długość wysokości walca i stożka,

$\left|BS\right|=l$ długość tworzącej stożka.

Kąt rozwarcia stożka, który mamy wyznaczyć to $\sphericalangle ASB$. Przyjmijmy, że miara $\left|\sphericalangle ASB\right|=\alpha$.

Z warunków zadania mamy $\frac{P_{bw}}{P_{bs}}=\frac{2H}{l}=\frac{2}{3}$, zatem $l=3H$.

Z  twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $OBS$ mamy $H^2+r^2={\left(3H\right)}^2$, stąd $r=2\sqrt{2}H$.

Do wyznaczenia cosinusa kąta rozwarcia stożka możemy wykorzystać albo twierdzenie cosinusów dla trójkąta $ABS$ : ${\left(2r\right)}^2=2l^2-2l^2\cos \alpha$ albo zależność dla cosinusa kąta podwojonego wyznaczając cosinus kąta $OSB$.

$\cos \alpha =-\frac{7}{9}$

Z warunków zadania mamy $b=2a$.

Pole powierzchni części walca pozostałej po wydrążeniu stożka jest sumą pól powierzchni jednej podstawy walca, pola powierzchni bocznej walca oraz pola powierzchni bocznej stożka.

Mamy zatem $P_c=\pi {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+2\pi ·\frac{1}{2}a·2a+\pi ·\frac{1}{2}a·l$, gdzie $l$ oznacza długość tworzącej stożka.

Długość tworzącej stożka obliczmy odpowiednio z twierdzenia Pitagorasa $l^2={\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2$, stąd $l=\frac{\sqrt{17}}{2}a$.

Zatem $P_c=\frac{\pi }{4}{a}^2+2\pi a^2+\pi ·\frac{\sqrt{17}}{4}{a}^2=\frac{9+\sqrt{17}}{4}\pi a^2$.