Przeczytaj

Przypomnijmy twierdzenie o dzieleniu wielomianów z resztądzielenie wielomianów z resztądzieleniu wielomianów z resztą. W niektórych podręcznikach nosi ono nazwę twierdzenia o rozkładzie wielomianu.

Dzielenie wielomianów z resztą

Twierdzenie: Dzielenie wielomianów z resztą

Dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ nazywany resztą z dzielenia jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym.

Bezpośrednio z tego wynika kolejne bardzo często stosowane w rozwiązaniach niektórych zadań twierdzenie o reszcietwierdzenie o reszcietwierdzenie o reszcie.

o reszcie

Twierdzenie: o reszcie

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez dwumian postaci $x - a$ wynosi $W (a)$ (czyli jest stałą równą wartości wielomianu $W (x)$ dla argumentu $a$ ).

Twierdzenie o reszcie bardzo łatwo udowodnić korzystając z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą. Wiadomo, że reszta z dzielenia $W (x)$ przez wielomian pierwszego stopnia jest stałą, oznaczmy ją jako $R$ .
Zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu z resztą możemy zapisać, że

W (x) = (x - a) \cdot Q (x) + R

czyli

W (a) = (a - a) \cdot Q (a) + R = R

a to właśnie chcieliśmy wykazać.

Przykład 1

Wyznaczymy resztę z dzielenia wielomianu $W (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 17 x + 15$ .

Możemy wykonać pisemne dzielenie wielomianów, ale dużo prościej będzie skorzystać z twierdzenia o reszcie. Szukana reszta wynosi:

$W (3) = 3^{4} - 3 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} - 17 \cdot 3 + 15 = 0$ ,

czyli wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $x - 3$ .

Przykład 2

Ustalmy, jaka jest reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = 3 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x - 11$ przez dwumian $x + 1$ .

Korzystając z twierdzenia o reszcie wiemy, że reszta ta wynosi $W (- 1) = - 32$ .

Wielomian definiujemy jako sumę jednomianów. Ale w wielu sytuacjach wygodniejsze jest przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu - czyli rozłożenie wielomianu na czynniki.

Wielomian rozkładalny

Definicja: Wielomian rozkładalny

Wielomian rozkładalnywielomian rozkładalnyWielomian rozkładalny to wielomian stopnia dodatniego, który można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego. Wielomian, który nie spełnia tych warunków, to wielomian nierozkładalny.

Z tej definicji wynika, że nierozkładalne są na pewno wszystkie wielomiany stopnia pierwszego oraz nierozkładalne wielomiany stopnia drugiego (czyli takie, dla których wyróżnik $Δ$ przyjmuje wartości ujemne).
Okazuje się, że są to jedyne wielomiany nierozkładalnewielomian nierozkładalnywielomiany nierozkładalne.

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Twierdzenie: Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Jedyne wielomiany nierozkładalne stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych to wszystkie wielomiany pierwszego stopnia oraz wielomiany drugiego stopnia z ujemnym wyróżnikiem $Δ$ .
Każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych i niezerowej stałej.
Zapis w postaci iloczynu jest jednoznaczny z dokładnością do przemnożenia czynników przez stałą niezerową.

Wyjaśnijmy, jak rozumieć zapis o jednoznaczności rozkładu.

Przykład 3

Rozważmy wielomian $W (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12$ .

Można go rozłożyć do postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych.

$W (x) = 2 (x + 2) (x + 3) (x + 1)$

$W (x) = (2 x + 4) (x + 3) (x + 1)$

$W (x) = (x + 2) (x + 3) (2 x + 2)$

$W (x) = (3 x + 6) (\frac{1}{3} x + 1) (2 x + 2)$

Odpowiednie wielomiany pierwszego stopnia w każdym z tych czterech przykładowych zapisów można uzyskać stosując tylko mnożenie przez stałą. Na przykład czynnik $(2 x + 2)$ w trzecim podpunkcie to $2 (x + 1)$ z pierwszego podpunktu, a $(\frac{1}{3} x + 1)$ można uzyskać jako $\frac{1}{3} (x + 3)$ .

Przykład 4

Wielomian

$W (x) = 3 x^{4} + 5 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 2$

można rozłożyć do postaci

$W (x) = (3 x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 2)$

i czynnik $(x^{2} + x + 2)$ jest już nierozkładalny, $(Δ = - 7)$ .

Na koniec odnotujmy zastosowanie twierdzenia o reszcie.

Przykład 5

Rozważmy wielomian $W (x) = x^{4} + 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ . Wyznaczymy współczynniki $a$ i $b$ wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x - 1)$ wynosi $7$ a reszta z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x + 1)$ wynosi $1$ .

Z Twierdzenia o reszcie wiemy, że $W (1) = 7$ oraz $W (- 1) = 1$ . Budujemy więc układ równań

$\{\begin{array}{l} 1^{4} + 2 \cdot 1^{3} + a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 1 = 7 \\ {(- 1)}^{4} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} + a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + 1 = 1 \end{array}$ ,

który po uproszczeniu przyjmuje postać:

$\{\begin{array}{l} a + b + 4 = 7 \\ a - b = 1 . \end{array}$

Dodając równania stronami otrzymujemy, że $2 a = 4$ , więc $a = 2$ . Wstawiając uzyskaną wielkość do drugiego równania mamy, że $2 - b = 1$ , więc $b = 1$ .

Słownik

dzielenie wielomianów z resztą

dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ nazywany resztą z dzielenia jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym

twierdzenie o reszcie

reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez dwumian postaci $x - a$ wynosi $W (a)$ (czyli jest stałą równą wartości wielomianu $W (x)$ dla argumentu $a$ )

wielomian rozkładalny

wielomian stopnia dodatniego, który można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego

wielomian nierozkładalny

jednomian stopnia zero lub wielomian stopnia dodatniego, którego nie można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego

Wprowadzenie

Animacja

Słownik