Przeczytaj

Zbiorem wartości dowolnej funkcji liczbowej jest zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji dla wszystkich jej argumentów.

Ważne!

Intuicyjnie zbiór wartości funkcji określamy jako zbiór tych liczb, które otrzymujemy poprzez podstawienie do wzoru funkcji wszystkich elementów z dziedziny tej funkcji.

Znając współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$ paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej oraz wartość współczynnika $a$ możemy wyznaczyć zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ :

dla $a > 0$ (ramiona paraboli skierowane są w górę) oraz $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ jest przedział $⟨ q, \infty)$ , funkcja osiąga wówczas wartość najmniejszą w wierzchołku $W = (p, q)$ ;

dla $a < 0$ (ramiona paraboli skierowane są w dół) oraz $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ jest przedział $(- \infty, q ⟩$ , funkcja osiąga wówczas wartość największą w wierzchołku $W = (p, q)$ .

Przykład 1

Wyznaczmy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $f (x) = - 3 x^{2} + x + 4$ .

W tym celu odczytujemy wartość współczynnika $a$ , obliczamy $∆$ oraz $q$ .

Otrzymujemy, że $a = - 3$ oraz $∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4 = 1 + 48 = 49$ .

Zatem $q = \frac{- 49}{4 \cdot (- 3)} = \frac{- 49}{- 12} = \frac{49}{12}$ .

Ponieważ $a < 0$ oraz $q = \frac{49}{12}$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział $(- \infty, \frac{49}{12}⟩$ .

Ważne!

Jeżeli funkcja kwadratowa jest przedstawiona w postaci kanonicznej tj. $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , wówczas jej zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości możemy wyznaczyć bez wykonywania obliczeń.

Przykład 2

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji kwadratowej $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 12$ .

Ponieważ $a = 2$ i $q = - 12$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział $⟨- 12, \infty)$ .

Ważne!

Jeżeli pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jest $p$ , to wartość drugiej współrzędnej $q$ można obliczyć z zależności $f (p) = q$ .

Przykład 3

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji, której wykres przedstawiono poniżej.

R1LT9pUELgM2A

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus piętnastu do piętnastu i pionową oś Y od minus dziesięciu do dziesięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji kwadratowej będącej parabolą o wierzchołku w punkcie nawias dwa przecinek pięć średnik pięć koniec nawiasu oraz z ramionami skierowanymi w dół. Wykres funkcji ma dwa miejsca zerowe i przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus dwa przecinek pięć koniec nawiasu oraz nawias pięć średnik zero koniec nawiasu.

Odczytujemy, że zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, 5⟩$ .

Przykład 4

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 2 x - 1$ .

Obliczamy $p = \frac{- 2}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 2}{- 2} = 1$ oraz $q = f (1) = - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 1 = 0$ .

Ponieważ $a < 0$ oraz $q = 0$ , zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, 0⟩$ .

Przykład 5

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji $f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5$ , jeżeli jej dziedziną jest przedział $⟨- 1, 4⟩$ .

W tym celu obliczamy wartości funkcji na końcach podanego przedziału. Otrzymujemy

$f (- 1) = 3 \cdot (- 1)^{2} - 6 \cdot (- 1) + 5 = 3 + 6 + 5 = 14$ ,

$f (4) = 3 \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4 + 5 = 48 - 24 + 5 = 29$ .

Następnie obliczamy współrzędną $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji. Otrzymujemy

$p = \frac{6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$ .

Ponieważ $p = 1 \in ⟨- 1, 4⟩$ , więc wyznaczamy wartość $q = f (p) = 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$ .

Najmniejszą wartością tej funkcji w podanym przedziale jest $2$ , a największą $29$ , zatem zbiorem wartości jest przedział $⟨2, 29⟩$ .

Wyznaczenie zbioru wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbioru wartości funkcji kwadratowej pozwala na rozwiązywanie bardziej złożonych problemów matematycznych.

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $a$ zbiorem wartości funkcji $f (x) = 2 x^{2} + a$ jest przedział $⟨3, \infty)$ .

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest większy od zera, zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $⟨a, \infty)$ .

Stąd otrzymujemy, że $a = 3$ .

Przykład 7

Ile liczb całkowitych ujemnych należy do zbioru wartości funkcji określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 2$ ?

Obliczamy wartość $q = \frac{- ∆}{4 a} = \frac{- ({(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2))}{4 \cdot 2} = \frac{- 32}{8} = - 4$ .

Ponieważ $a > 0$ oraz $q = - 4$ , więc zbiorem wartości funkcji $f (x)$ jest przedział $⟨- 4, \infty)$ .

Do przedziału $⟨- 4, \infty)$ należą $4$ liczby całkowite ujemne $(- 4)$ , $(- 3)$ , $(- 2)$ , $(- 1)$ .

Przykład 8

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej $f$ , jeżeli wiadomo, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ , osią symetrii paraboli, będącej wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu $x = - 2$ i do wykresu należy punkt o współrzędnych $(0, - 7)$ .

Ponieważ osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta $x = - 2$ , zatem $p = - 2$ .

Jeżeli zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ , to $q = - 3$ .

Wzór funkcji możemy zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x + 2)}^{2} - 3$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(0, - 7)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie

$- 7 = a \cdot {(0 + 2)}^{2} - 3$ , czyli $a = - 1$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $f (x) = - {(x + 2)}^{2} - 3$ .

Słownik

zbiór wartości funkcji

zbiór wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

Wprowadzenie

Animacja

Słownik