Przeczytaj

W materiale omówimy, jakie znaczenie mają współczynniki liczbowe występujące we wzorze funkcji kwadratowej, zapisanym w postaci kanonicznej. Interpretację tych współczynników wykorzystamy do określania różnych własności funkcji kwadratowej.

Przypomnijmy twierdzenie o związku między postacią ogólną a postacią kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej.

o związku między postacią ogólną a kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej

Twierdzenie: o związku między postacią ogólną a kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej

Wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ można zapisać za pomocą wzoru

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Dowód

$f (x) = a x^{2} + b x + c = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a \cdot (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x) + c =$

$= a \cdot [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c = a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$= a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Otrzymujemy wzór $f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$

Ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ możemy odczytać:

wartość współczynnika $a$ , który decyduje o tym, czy ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji są skierowane do góry, czy do dołu,
współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej: $W = (p, q)$ .

Jeżeli znamy wartość $p$ , to:

osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu $x = p$ ,
dla $a > 0$ funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, p⟩$ oraz jest rosnąca w przedziale $⟨p, \infty)$ ,
dla $a < 0$ funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, p⟩$ oraz jest malejąca w przedziale $⟨p, \infty)$ ,
dla $x = p$ funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą/największą,
jeżeli funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ , to $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Jeżeli znamy wartość $q$ , to:

dla $a > 0$ zbiorem wartości funkcji jest przedział $⟨q, \infty)$ ,
dla $a < 0$ zbiorem wartości funkcji jest przedział $(- \infty, q⟩$ ,
dla argumentu $x = p$ liczba $q$ jest wartością najmniejszą/największą.

Przykład 1

Dla funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - {(x + 4)}^{2} - 3$ wyznaczymy:

przedziały monotoniczności funkcji $f$ ,
zbiór wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ jest określona wzorem w postaci kanonicznejwzorem w postaci kanonicznej, zatem ze wzoru odczytujemy, że:

$a = - 1$ , $p = - 4$ , $q = - 3$

Wobec tego:

funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty, - 4⟩$ ,
funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨- 4, \infty)$ ,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, - 3⟩$ .

Przykład 2

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = \sqrt{3} {(x - 2)}^{2} + q$ . Do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(3, 2 \sqrt{3})$ .

Wyznaczymy wartość $q$ oraz podamy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ punkt o współrzędnych $(3, 2 \sqrt{3})$ należy do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \sqrt{3} {(x - 2)}^{2} + q$ , zatem do wyznaczenia wartości $q$ rozwiązujemy równanie:

$2 \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot {(3 - 2)}^{2} + q$ , czyli $q = \sqrt{3}$ .

Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ ma współrzędne $(2, \sqrt{3})$ .

Przykład 3

Do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ należy punkt o współrzędnych $(- 4, - 4)$ , a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 2)$ .

Wyznaczymy wzór funkcji $f$ , a następnie określimy liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 2)$ , to wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x + 2)}^{2} - 2$ .

Jeżeli punkt o współrzędnych $(- 4, - 4)$ należy do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$- 4 = a {(- 4 + 2)}^{2} - 2$

Zatem $a = - \frac{1}{2}$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ .

Ponieważ $a = - \frac{1}{2}$ , zatem ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ są skierowane do dołu.

Ponieważ wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 2)$ oraz ramiona tej paraboli są skierowane do dołu, to równanie $f (x) = m$ , dla $m \in ℝ$ :

ma dwa rozwiązania dla $m \in (- \infty, - 2)$ ,
ma jedno rozwiązanie dla $m = - 2$ ,
nie ma rozwiązań dla $m \in (- 2, \infty)$ .

Przykład 4

Przedstawimy funkcję kwadratową określoną wzorem $f (x) = - 5 x^{2} - 20 x - 21$ w postaci kanonicznej, a następnie wyznaczymy:

równanie osi symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ ,
zbiór wartości funkcji $f$ .

Rozwiązanie

Obliczamy:

$p = \frac{20}{2 \cdot (- 5)} = - 2$

$∆ = {(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 21) = 400 - 420 = - 20$

$q = \frac{20}{4 \cdot (- 5)} = - 1$

Wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej: $f (x) = - 5 {(x + 2)}^{2} - 1$ .

Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = - 2$ .
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, - 1⟩$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wzór funkcji $f (x) = - 2 x^{2} + b x + c$ w postaci kanonicznej, jeżeli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby, będące rozwiązaniami równania $|x - 2| = 4$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ :

$|x - 2| = 4$

$x - 2 = 4 \lor x - 2 = - 4$

$x = 6$ oraz $x = - 2$

Wobec tego miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = 6$ oraz $x_{2} = - 2$ .

Do wyznaczenia pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wykorzystamy wzór $p = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

Zatem $p = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2$ .

Wobec tego postać kanoniczna funkcji $f$ wyraża się wzorem $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} + q$ .

Ponieważ liczba $6$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(6, 0)$ .

Wobec tego podstawiamy współrzędne punktu $(6, 0)$ do wzoru funkcji $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} + q$ :

$0 = - 2 \cdot {(6 - 2)}^{2} + q$

$0 = - 2 \cdot 16 + q$ , czyli $q = 32$

Wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej: $f (x) = - 2 {(x - 2)}^{2} + 32$

Przykład 6

Wykażemy, że jeśli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x$ oraz wzorem w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $a \neq 0$ , to $p + q = - \frac{2 b + b^{2}}{4 a}$ .

Rozwiązanie:

Przekształcimy wzór $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

Zatem

$f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q = a \cdot (x^{2} - 2 p x + p^{2}) + q =$

$= a x^{2} - 2 a p x + a p^{2} + q$

Porównując otrzymany wzór ze wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej otrzymujemy zależności:

$b = - 2 a p$ , czyli $p = \frac{- b}{2 a}$

$0 = a p^{2} + q$ , czyli $q = - a p^{2} = - a \cdot {(\frac{- b}{2 a})}^{2} = - a \cdot \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = - \frac{b^{2}}{4 a}$

Wobec tego:

$p + q = - \frac{b}{2 a} + (- \frac{b^{2}}{4 a}) = - \frac{2 b + b^{2}}{4 a}$

Słownik

wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$

$q = \frac{- ∆}{4 a}$

$∆ = b^{2} - 4 a c$

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik