Przeczytaj
Wyznaczmy wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu .
Zacznijmy od sprawdzenia, czy wielomian ma pierwiastki całkowite, których szukamy wśród dzielników całkowitych wyrazu wolnego .
Łatwo stwierdzić, że , możemy więc po wykonaniu dzielenia zapisać, że .
Sprawdźmy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.
Łatwo obliczyć, że pierwiastkiem tego wielomianu jest .Po wykonaniu kolejnego dzielenia możemy więc zapisać, że
.Stosując metody rozkładu trójmianu kwadratowego na czynniki możemy zauważyć, że , więc
.Pierwiastkami wielomianuPierwiastkami wielomianu są zatem liczby i , przy czym jest określane jako pierwiastek potrójny, inaczej pierwiastek trzykrotny lub pierwiastek mający krotność 3.
Liczba jest pierwiastkiem -krotnym wielomianu gdy wielomian jest podzielny przez , ale nie jest podzielny przez . Możemy wtedy powiedzieć, że jest krotnością pierwiastka .
Wskażmy przykład wielomianu dziesiątego stopnia, który ma pierwiastek sześciokrotny oraz pierwiastek czterokrotny . Ile takich wielomianów istnieje?
Przykładowy wielomian spełniający warunki zadania to
.
Możemy oczywiście zapisć go w postaci sumy jednomianów, sprowadzenie do tej postaci bez użycia narzędzi elektronicznych byłoby jednak niezwykle żmudne:
Warunki zadania spełnia nieskończenie wiele wielomianów, ale wszystkie będą postaci , gdzie może być dowolną liczbą różną od zera.
Ustalmy krotności wszystkich pierwiastków wielomianu
.
Zauważmy, że używając wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że
czyli po pogrupowaniu
.Wielomian ma zatem pierwiastek czterokrotny oraz trzy pierwiastki pojedyncze: , i .
Wykażmy, że liczba jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu .
Możemy uwzględnić pojęcie pierwiastków wielokrotnychpierwiastków wielokrotnych przy określaniu liczby pierwiastków wielomianuliczby pierwiastków wielomianu:
Wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności (pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność).
Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Słownik
wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności (pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność)
wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty
liczba jest pierwiastkiem -krotnym wielomianu gdy wielomian jest podzielny przez , ale nie jest podzielny przez . Możemy wtedy powiedzieć, że jest krotnością pierwiastka
dla wielomianu jednej zmiennej to liczba taka, że