Przeczytaj

Przykład 1

Wyznaczmy wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu $W (x) = 2 x^{4} - 9 x^{3} + 15 x^{2} - 11 x + 3$ .

Zacznijmy od sprawdzenia, czy wielomian ma pierwiastki całkowite, których szukamy wśród dzielników całkowitych wyrazu wolnego $3$ .
Łatwo stwierdzić, że $W (1) = 0$ , możemy więc po wykonaniu dzielenia zapisać, że $W (x) = (x - 1) (2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x - 3)$ .
Sprawdźmy, czy wielomian $2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x - 3$ ma pierwiastki całkowite.
Łatwo obliczyć, że pierwiastkiem tego wielomianu jest $1$ .
Po wykonaniu kolejnego dzielenia możemy więc zapisać, że
$W (x) = {(x - 1)}^{2} (2 x^{2} - 5 x + 3)$ .
Stosując metody rozkładu trójmianu kwadratowego na czynniki możemy zauważyć, że $2 x^{2} - 5 x + 3 = 2 (x - 1) (x - \frac{3}{2})$ , więc
$W (x) = 2 {(x - 1)}^{3} (x - \frac{3}{2})$ .
Pierwiastkami wielomianupierwiastek wielomianuPierwiastkami wielomianu $W (x)$ są zatem liczby $1$ i $\frac{3}{2}$ , przy czym $1$ jest określane jako pierwiastek potrójny, inaczej pierwiastek trzykrotny lub pierwiastek mający krotność 3.

Pierwiastek wielokrotny

Definicja: Pierwiastek wielokrotny

Liczba $a$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $W (x)$ gdy wielomian $W (x)$ jest podzielny przez ${(x - a)}^{k}$ , ale nie jest podzielny przez ${(x - a)}^{k + 1}$ . Możemy wtedy powiedzieć, że $k$ jest krotnością pierwiastka $a$ .

Przykład 2

Wskażmy przykład wielomianu dziesiątego stopnia, który ma pierwiastek sześciokrotny $5$ oraz pierwiastek czterokrotny $(- 3)$ . Ile takich wielomianów istnieje?

Przykładowy wielomian spełniający warunki zadania to
$W (x) = (x - 5)^{6} {(x + 3)}^{4}$ .

Możemy oczywiście zapisć go w postaci sumy jednomianów, sprowadzenie do tej postaci bez użycia narzędzi elektronicznych byłoby jednak niezwykle żmudne:
$W (x) = x^{10} - 18 x^{9} + 69 x^{8} + 488 x^{7} - 3534 x^{6} - 3180 x^{5} + 57250 x^{4} +$
$- 15000 x^{3} - 421875 x^{2} + 168750 x + 1265625 .$

Warunki zadania spełnia nieskończenie wiele wielomianów, ale wszystkie będą postaci $V (x) = a (x - 5)^{6} {(x + 3)}^{4}$ , gdzie $a$ może być dowolną liczbą różną od zera.

Przykład 3

Ustalmy krotności wszystkich pierwiastków wielomianu
$W (x) = - 3 (x - 3) (x^{2} - 3) (x^{2} - 6 x + 9) (x^{2} - 9)$ .

Zauważmy, że używając wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że
$W (x) = - 3 (x - 3) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) {(x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 3)$
czyli po pogrupowaniu
$W (x) = - 3 (x - 3^{4}) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x + 3)$ .
Wielomian ma zatem pierwiastek czterokrotny $3$ oraz trzy pierwiastki pojedyncze: $\sqrt{3}$ , $- \sqrt{3}$ i $- 3$ .

Przykład 4

Wykażmy, że liczba $(- 2)$ jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu $W (x) = x^{6} + 3 x^{5} - 5 x^{4} - 25 x^{3} - 30 x^{2} - 28 x - 24$ .

RecmAE1AFgjDV

Czy wielomian jest podzielny przez

(x + 2)^{3}

Aby uzyskać odpowiedź możemy na przykład podzielić pisemnie wielomian $W (x)$ przez $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .
Możemy też wykonać trzykrotne dzielenie przez $x + 2$ za pomocą schematu Hornera.
Każdy może wybrać metodę, którą uzna za wygodniejszą. Po wykonaniu dzielenia okazuje się, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $(x + 2)^{3}$ bez reszty, a w wyniku dzielenia uzyskamy $Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ .
Z tego wnioskujemy, że krotność pierwiastka $- 2$ wynosi co najmniej 3.

, Czy wielomian jest podzielny przez

(x + 2)^{4}

Jeśli $- 2$ ma być pierwiastkiem trzykrotnym, to wielomian $Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ nie może być podzielny przez $x + 2$ .
Dla sprawdzenia podzielności wykorzystamy twierdzenie Bézouta obliczając $Q (- 2)$ .
$Q (- 2) = - 8 - 12 - 2 - 3 \neq 0$ .
Zatem wielomian $W (x)$ nie jest podzielny przez $(x + 2)^{4}$ ., Podsumowanie Z powyższych obliczeń wnioskujemy, że $- 2$ jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu $W (x)$ .

Dowód będzie się składać z dwóch faz.

Czy wielomian jest podzielny przez $(x + 2)^{3}$ ?

Aby uzyskać odpowiedź możemy na przykład podzielić pisemnie wielomian $W (x)$ przez $(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .
Możemy też wykonać trzykrotne dzielenie przez $x + 2$ za pomocą schematu Hornera.
Każdy może wybrać metodę, którą uzna za wygodniejszą. Po wykonaniu dzielenia okazuje się, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $(x + 2)^{3}$ bez reszty, a w wyniku dzielenia uzyskamy $Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ .
Z tego wnioskujemy, że krotność pierwiastka $(- 2)$ wynosi co najmniej $3$ .

Czy wielomian jest podzielny przez $(x + 2)^{4}$ ?

Jeśli $(- 2)$ ma być pierwiastkiem trzykrotnym, to wielomian $Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ nie może być podzielny przez $x + 2$ .
Dla sprawdzenia podzielności wykorzystamy twierdzenie Bézouta obliczając $Q (- 2)$ .
$Q (- 2) = - 8 - 12 - 2 - 3 \neq 0$ .
Zatem wielomian $W (x)$ nie jest podzielny przez $(x + 2)^{4}$ .
Podsumowanie
Z powyższych obliczeń wnioskujemy, że $(- 2)$ jest pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu $W (x)$ .

Możemy uwzględnić pojęcie pierwiastków wielokrotnychpierwiastek wielokrotnypierwiastków wielokrotnych przy określaniu liczby pierwiastków wielomianuliczba pierwiastków wielomianuliczby pierwiastków wielomianu:

Liczba pierwiastków wielomianu

Własność: Liczba pierwiastków wielomianu

Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności (pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność).
Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Słownik

liczba pierwiastków wielomianu

wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych z uwzględnieniem ich krotności (pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność)
wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

pierwiastek wielokrotny

liczba $a$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $W (x)$ gdy wielomian $W (x)$ jest podzielny przez ${(x - a)}^{k}$ , ale nie jest podzielny przez ${(x - a)}^{k + 1}$ . Możemy wtedy powiedzieć, że $k$ jest krotnością pierwiastka $a$

pierwiastek wielomianu

dla wielomianu $W (x)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_{0}$ taka, że $W (x_{0}) = 0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik