Przeczytaj

Przed sformułowaniem definicji otoczenia punktu przypomnijmy, że jeśli mamy dane dwie liczby rzeczywiste $x$ i $y$ na osi liczbowej, to ich odległość definiujemy jako wartość bezwzględną ich różnicy, czyli liczbę $|x - y|$ .

Przykład 1

Odległość liczb $x = - 1$ oraz $y = 5$ na osi liczbowej wynosi:

$|x - y| = |- 1 - 5| = |- 6| = 6$ .

Dla zainteresowanych

W ogólnym przypadku, do mierzenia odległości między elementami danego zbioru $A$ , wykorzystuje się funkcję nazywaną metryką. Funkcja ta, oznaczana zazwyczaj literą $d$ , przekształca zbiór $A$ w zbiór $⟨0, \infty)$ oraz dla dowolnych $x, y, z \in A$ spełnia warunki

$d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$

$d (x, y) = d (y, x)$

$d (x, y) ⩽ d (x, z) + d (z, y)$

Pierwszy warunek mówi, że odległość punktu od siebie jest równa zero, natomiast odległość między różnymi punktami jest różna od zera. Drugi warunek orzeka, że odległość od punktu $x$ do punktu $y$ jest zawsze taka sama jak odległość od $y$ do $x$ . Z trzeciego warunku wynika, że odległość między punktami $x$ i $y$ jest niewiększa niż suma odległości tych punktów od dowolnego punktu $z$ . Ostatni warunek nazywany jest nierównością trójkąta i można go zinterpretować następująco: droga od punktu $x$ do punktu $y$ przez dowolny punkt $z$ zawsze będzie nie mniejsza niż bezpośrednia droga z punktu $x$ do $y$ .

Można sprawdzić, że w przypadku gdy zbiór $A$ jest zbiorem liczb rzeczywistych to funkcja $d (x, y) = |x - y|$ spełnia warunki $1 - 3$ , zatem jest metryką.

Czym jest otoczenie punktu?

Otoczenie punktu

Definicja: Otoczenie punktu

Otoczeniem punktu $x_{0} \in ℝ$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których odległość od $x_{0}$ jest mniejsza od $ε$ . Otocznie punktu $x_{0}$ o promieniu $ε$ oznaczamy $U (x_{0}, ε)$ . Powyższą definicję możemy zatem zapisać symbolicznie

U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej możemy zapisać otoczenie punktu w równoważny sposób w postaci przedziału

U (x_{0}, ε) = (x_{0} - ε, x_{0} + ε)

Pojęcie otoczenia punktu ilustruje poniższy rysunek.

R13FPilPWJkAO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczoną po środku współrzędną x 0. Poniżej osi poziomymi klamrami zaznaczone są odległości na prawo i lewo od współrzędnej. Każda z odległości wynosi epsilon. Nad osią zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty x 0 odjąć epsilon, x 0 dodać epsilon. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 2

Otoczeniem punktuotoczenie punktuOtoczeniem punktu $x_{0} = 4$ o promieniu $ε = 5$ jest zbiór

U (4, 5) = \{x \in ℝ : |x - 4| < 5\}

Możemy zapisać w postaci przedziału $(- 1, 9)$ .

RAB5jP3FnruHK

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dziesięciu z zaznaczoną po środku współrzędną 4. Nad osią zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty minus jeden dziewięć. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Uwaga!

Często można spotkać bardziej ogólną definicję otoczenia punktu. Mianowicie za otoczenie punktu $x_{0}$ na osi liczbowej można przyjąć dowolny przedział $P$ , dla którego istnieje liczba $ε > 0$ taka, że

U (x_{0}, ε) \subset P

Innymi słowy za otoczenie punktu $x_{0}$ można przyjąć dowolny przedział zawierający zbiór $U (x_{0}, ε)$ dla pewnej dodatniej liczby $ε$ .

Z powyższej uwagi wynika w szczególności, że za otoczenie każdego punktu na osi liczbowej można przyjąć całą oś! Nie jest to jednak z punktu widzenia zastosowań ciekawy przypadek. W praktyce najczęściej żąda się aby otoczenia były małe, tzn. miały dostatecznie mały promień.

Co to jest sąsiedztwo punktu i czym różni się od otoczenia?

Często pojawia się potrzeba zbadania pewnej własności w otoczeniu jakiegoś punktu na osi liczbowej, lecz nie interesuje nas ta własność w samym punkcie. W takiej sytuacji możemy posłużyć się pojęciem sąsiedztwasąsiedztwo punktusąsiedztwa.

Sąsiedztwo punktu

Definicja: Sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwem punktu $x_{0} \in ℝ$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

S (x_{0}, ε) = U (x_{0}, ε) - \{x_{0}\} = (x_{0} - ε, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + ε)

Sąsiedztwo punktu możemy zatem interpretować jako otoczenie punktu bez tego punktu.

RPuMtqfixVyeQ

Czasami w praktyce potrzebujemy zbadać pewną własność jedynie z lewej lub z prawej strony pewnego punktu. Mówimy wówczas o sąsiedztwie lewostronnym lub prawostronnym. Bardziej precyzyjnie sąsiedztwem lewostronnym punktu $x_{0} \in ℝ$ nazywamy zbiór $S^{-} (x_{0}) = (x_{0} - ε, x_{0})$ dla pewnej liczby $ε > 0$ , natomiast sąsiedztwem prawostronnym punktu $x_{0} \in ℝ$ nazywamy zbiór $S^{+} (x_{0}) = (x_{0}, x_{0} + ε)$ dla pewnej liczby $ε > 0$ .

Słownik

wartość bezwzględna liczby

x

wartość bezwzględna liczby

x

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

otoczenie punktu

U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

sąsiedztwo punktu

otoczenie punktu bez tego punktu

Wprowadzenie

Infografika

Czym jest otoczenie punktu?

Co to jest sąsiedztwo punktu i czym różni się od otoczenia?

Słownik