Pierwsza sekretarka „przybija” pieczątki na określonej partii dokumentów w ciągu $30$ minut, drugiej sekretarce wykonanie tej samej pracy zajmuje godzinę. Ile czasu zajmie wykonanie tej pracy, jeśli obie panie będą wykonywały ją wspólnie?

Rozwiązanie:

$x$ – oznacza czas potrzebny na wykonanie pracy wspólnie przez dwie sekretarki, wyrazimy go w godzinach;

$x\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$;

$W$ – cała praca do wykonania, wartość ta jest dodatnia.

W treści zadania pojawiają się różne jednostki czasu, w rozwiązaniu musimy zadbać o taką samą jednostkę!

$\frac{W}{\frac{1}{2}}$ to część pracy wykonana przez pierwszą sekretarkę;

$\frac{W}{1}$ to część pracy wykonana przez drugą sekretarkę, czas wyrażamy w  godzinach;

$\frac{W}{x}$ to praca wykonana wspólnie przez dwie sekretarki w szukanym czasie.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną przez każdą z sekretarek:

$\frac{W}{\frac{1}{2}}+\frac{W}{1}=\frac{W}{x}$

$2W+W=\frac{W}{x}$

$3W=\frac{W}{x}$,

następnie dzielimy obustronnie przez $W$, otrzymujemy:

$3=\frac{1}{x}$

$x=\frac{1}{3} \left[\mathrm{h}\right]$

Odpowiedź: Dwie sekretarki pracując razem „przybiją pieczątki” w $20$ minut.

Kasia i jej młodszy brat Adam, pracując razem, są w stanie wyprasować stertę wypranych koszul w ciągu $2$ godzin. Kasia sama potrzebuje $2,5$ godziny na wykonanie tej pracy. Ile czasu zajmie Adamowi to prasowanie, gdy będzie pracował sam?

Rozwiązanie:

$x$ – oznacza czas potrzebny na wykonanie pracy przez Adama, wyrazimy go w godzinach;

$x\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$;

$W$ – cała praca do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{2,5}$ to część pracy wykonana przez Kasię, czas wyrażamy w godzinach;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez Adama, czas wyrażamy w godzinach;

$\frac{W}{2}$ to praca wykonana wspólnie przez rodzeństwo w danym czasie.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną przez rodzeństwo:

$\frac{W}{2,5}+\frac{W}{x}=\frac{W}{2}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$, otrzymujemy:

$\frac{1}{2,5}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2,5}=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{5}{10}-\frac{4}{10}=\frac{1}{10}$

$x=10$

Odpowiedź: Adam potrzebuje $10$ godzin na wyprasowanie sterty koszul.

Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie o $32$ dni krótszym od początkującego pracownika. Aby wykonać zlecenie szybciej, postanowili pracować razem. Skończyli pracę w ciągu  $12$ dni. W ciągu ilu dni wykonałby to zlecenie każdy z nich pracując osobno?

Rozwiązanie:

$x$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez robotnika z dłuższym stażem pracy;

$x+\mathrm{32}$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez drugiego robotnika;

$x\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$;

$W$ – cała praca (zlecenie) do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez robotnika z dłuższym stażem pracy w ciągu jednego dnia;

$\frac{W}{x+32}$ to część pracy wykonana przez robotnika z krótszym stażem pracy w ciągu  jednego dnia;

$\frac{W}{12}$ to część  pracy wykonana wspólnie przez dwóch robotników w ciągu  jednego dnia.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną jednego dnia:

$\frac{W}{x}+\frac{W}{x+32}=\frac{W}{12}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$, otrzymujemy:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+32}=\frac{1}{12}$

Otrzymane równanie wymierne przekształcamy do równania wielomianowego:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+32}=\frac{1}{12} |\cdot 12x\left(x+32\right)$

$12\left(x+32\right)+12x=x\left(x+32\right)$

$12x+384+12x=x^2+32x$

$x^2+8x-384=0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

$\mathrm{\Delta }=8^2-4·1·\left(-384\right)=1600$,
$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=40$

$x_1=\frac{-8-40}{2}=-24 <0$

$x_2=\frac{-8+40}{2}=16 \in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$

Drugie rozwiązanie równania spełnia warunki zadania, tę wartość uwzględniamy przy formułowaniu odpowiedzi.

Odpowiedź: Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie $16$ dni, początkujący pracownik potrzebuje na wykonanie tej samej pracy $48$ dni.

Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie o $15$ dni krótszym niż początkujący pracownik.

Aby wykonać zlecenie szybciej, postanowili pracować razem. Skończyli pracę w ciągu $4$ dni. W ciągu ilu dni wykonałby to oddzielnie każdy z nich?

Rozwiązanie:

$x$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez robotnika z dłuższym stażem pracy;

$x+\mathrm{15}$ oznacza liczbę dni potrzebnych na wykonanie pracy samodzielnie przez drugiego pracownika;

$x\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$;

$W$ – cała praca (zlecenie) do wykonania, wartość ta jest dodatnia;

$\frac{W}{x}$ to część pracy wykonana przez robotnika z dłuższym stażem pracy w ciągu jednego dnia;

$\frac{W}{x+15}$ to część pracy wykonana przez robotnika z krótszym stażem pracy w ciągu  jednego dnia;

$\frac{W}{4}$ to część pracy wykonana wspólnie przez dwóch robotników w ciągu jednego dnia.

Układamy równanie, bierzemy pod uwagę część pracy wykonaną w ciągu jednego dnia:

$\frac{W}{x}+\frac{W}{x+15}=\frac{W}{4}$

następnie dzielimy obustronnie przez $W$, otrzymujemy:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+15}=\frac{1}{4}$

Otrzymane równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne przekształcamy do równania wielomianowego:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+15}=\frac{1}{4} |\cdot 4x\left(x+15\right)$

$4\left(x+15\right)+4x=x\left(x+15\right)$

$4x+60+4x=x^2+15x$

$x^2+7x-60=0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:

$\mathrm{\Delta }=7^2-4·1·\left(-60\right)=289$
$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=17$

$x_1=\frac{-7-17}{2}=-12<0$
lub
$x_2=\frac{-7+17}{2}=5\in {\mathbb{N}}_{+}$

Drugie rozwiązanie równania spełnia warunki zadania, tę wartość uwzględniamy przy formułowaniu odpowiedzi.

Odpowiedź: Robotnik z dłuższym stażem pracy wykonuje pewną pracę w czasie $5$ dni, początkujący pracownik potrzebuje na wykonanie tej samej pracy $20$ dni.

równanie, które można sprowadzić do postaci $\frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)}=0$, gdzie $V\left(x\right)$, $W\left(x\right)$, są wielomianami, przy czym $W\left(x\right)$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia oraz $W\left(x\right)\ne 0$