Przeczytaj

Graniastosłup nazywamy prostym, gdy jego ściany boczne są prostokątami.

Przykład 1

RdGMtRnszCw2P

Na ilustracji przedstawiono następujące bryły. Graniastosłup prosty trójkątny o podstawie trójkąta równobocznego i o prostokątnych ścianach prostopadłych do podstaw, graniastosłup prosty czworokątny o podstawie prostokąta o ścianach będących prostokątami prostopadłymi do podstaw oraz trzecia bryła to graniastosłup prosty pięciokątny o podstawie pięciokąta i o prostokątnych ścianach prostopadłych do podstaw..

Przypomnimy zależności w graniastosłupach prostych.

Wzajemne położenie krawędzi:

odpowiadające sobie krawędzie podstaw są równoległe,
krawędzie boczne są równoległe,
krawędzie boczne są prostopadłe do krawędzi podstawy.

Dwie pierwsze zależności zachodzą dla wszystkich graniastosłupów, trzecia jest cechą charakterystyczną dla graniastosłupów prostych.

Ważne!

Pamiętaj, że proste skośne również mogą być prostopadłe w przestrzeni. A zatem krawędzie nie muszą mieć punktów wspólnych, aby być prostopadłe. Na rysunku poniżej zaznaczona została przykładowa para krawędzi, które leżą na prostych skośnych prostopadłych.

R19DQo3FKnZUz

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty pięciokątny. Wierzchołki dolnej podstawy oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E. Wierzchołki górnej podstawy, odpowiadającymi im literami z cyfrą 1 w dolnym indeksie. Kolorem wyróżniono pionową krawędź jednej ze ścian, krawędź A A1 , oraz krawędź podstawy ED.

Przykład 2

Graniastosłup prosty na rysunku poniżej jest prostopadłościanem. Wskaż wszystkie krawędzie, które są prostopadłe do krawędzi $B C$ .

R1aoVQjGBFVEM

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, oraz górną wielkimi literami odpowiednio od E do H. Krawędzie boczne, będące wysokościami graniastosłupa stanowią odcinki AE, BF, CG, DH.

Rozwiązanie

Do krawędzi $B C$ prostopadłe są krawędzie $A B$ , $D C$ , $E F$ , $H G$ , $B F$ , $C G$ , $A E$ , $D H$ .

Wzajemne położenie ścian

podstawy są równoległe,
jeżeli w podstawie są krawędzie równoległe, to ściany boczne zawierające te krawędzie są równoległe,
ściany boczne są prostopadłe do podstaw,
jeżeli w podstawie są krawędzie prostopadłe, to ściany boczne zawierające te krawędzie są prostopadłe.

Dwie pierwsze własności są prawdziwe dla wszystkich graniastosłupów, dwie ostatnie dla graniastosłupów prostych.

Przykład 3

Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego na rysunku jest trapez prostokątny.

Kąty proste w podstawach graniastosłupa znajdują się w wierzchołkach $A$ , $D$ , $A_{1}$ , $D_{1}$ .

R12hKQ9sLZMJd

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny, którego podstawy stanowią trapezy prostokątne. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, natomiast podstawę górną odpowiadającymi im literami z cyfrą jeden w indeksie dolnym. Kąty w podstawach przy wierzchołku A, D, A z indeksem dolnym jeden oraz D z indeksem dolnym jeden, wynoszą dziewięćdziesiąt stopni.

Określimy wzajemne położenie ścian.

Rozwiązanie

Mamy $A B C D ∥ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , ponieważ są to podstawy graniastosłupa.

$C D D_{1} C_{1} ∥ A B B_{1} A_{1}$ bo krawędzie $D C$ i $A B$ są równoległe.

Każda ze ścian $A D D_{1} A_{1}$ , $A B B_{1} A_{1}$ , $B C C_{1} B_{1}$ , $C D D_{1} C_{1}$ jest prostopadła do każdej z podstaw $A B C D$ i $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

Mamy również $C D D_{1} C_{1} ⊥ A D D_{1} A_{1}$ oraz $A D D_{1} A_{1} ⊥ A B B_{1} A_{1}$ , ponieważ kąty w wierzchołkach $D$ i $A$ trapezu są proste.

Wzajemne położenie krawędzi i ścian

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.

Przykład 4

W graniastosłupie na rysunku ściany $A B F E$ i $D C G H$ są rombami. Pozostałe ściany są kwadratami. Określ rodzaj graniastosłupa i wskaż pary ścian prostopadłych.

RcJS5XdfRYIAD

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie dolnej ABCD oraz górnej EFGH. Ściany boczne ABFE i DCGH są rombami. Krawędzie ścian bocznych są delikatnie nachylone ku prawej stronie.

Rozwiązanie

Graniastosłup ten jest graniastosłupem prostym o podstawie rombu. Każda ze ścian $A D H E$ , $D A B C$ , $B C G F$ i $F G H E$ jest prostopadła do każdej z podstaw $A B F E$ i $C D H G$ .

Graniastosłupy prawidłowe

Graniastosłupy prostegraniastosłup prostyGraniastosłupy proste, których podstawą jest wielokąt foremny, nazywamy graniastosłupami prawidłowymi.

Przykład 5

Wszystkie dwanaście krawędzi graniastosłupa prostego ma tę samą długość $a$ . Uzasadnij, że nie każdy graniastosłup, który ma tę własność jest prawidłowy.

Rozwiązanie

Ponieważ graniastosłup ten ma dwanaście krawędzi, to jest to graniastosłup prosty czworokątny. Istnieją dwa różne graniastosłupy proste, które spełnią warunek podany w treści zadania: sześcian, który jest graniastosłupem prawidłowym i graniastosłup prosty o podstawie rombu niebędącego kwadratem, którego ściany boczne są kwadratami – nie jest to graniastosłup prawidłowy.

W każdym graniastosłupie prawidłowymgraniastosłup prawidłowygraniastosłupie prawidłowym o podstawie $n$ –kąta mamy $2 n$ krawędzi podstawy tej samej długości i $n$ krawędzi bocznych tej samej długości. Ściany boczne takiego graniastosłupa prawidłowego są przystającymi prostokątami.

Ważne!

Nie każdy graniastosłup, który ma te własności jest prawidłowy. Graniastosłup prostygraniastosłup prostyGraniastosłup prosty o podstawie rombu spełnia te własności, a jednak nie jest prawidłowy, ponieważ w jego podstawie nie znajduje się wielokąt foremny.

Słownik

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny

Wprowadzenie

Aplet

Wzajemne położenie ścian

Wzajemne położenie krawędzi i ścian

Graniastosłupy prawidłowe

Słownik