Przeczytaj

Zacznijmy od rozważenia serii kilku równości.

Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym mamy:

a^{2} = a \cdot a

Jeśli $a$ nie jest zerem, możemy podzielić obie strony równania przez $a$ otrzymując

\frac{a^{2}}{a} = (a \cdot a) : a

Stosując własności działań na potęgach do lewej strony równości oraz łączność mnożenia do prawej strony otrzymujemy równość:

a^{1} = a

Ponownie podzielmy obie strony równości przez $a$ :

\frac{a^{1}}{a} = a : a

Z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym wynika, że lewą stronę możemy zapisać jako

\frac{a^{1}}{a} = \frac{a^{1}}{a^{1}} = a^{1 - 1} = a^{0}

Zatem powyższa równość przyjmuje postać

a^{0} = 1

Sprawdźmy, co się stanie, jeśli ponownie podzielimy obie strony równości przez $a$ :

\frac{a^{0}}{a} = 1 : a

\frac{a^{0}}{a^{1}} = \frac{1}{a}

Chcemy, aby własności działań na potęgach były uniwersalne i prawdziwe nie tylko dla wykładników naturalnych. Po zastosowaniu własności dotyczącej ilorazu potęg o tych samych podstawach otrzymujemy:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

Jeśli podzielimy obie strony równania jeszcze raz przez $a$ otrzymamy:

\frac{a^{- 1}}{a} = \frac{1}{a} : a

czyli:

\frac{a^{- 1}}{a^{1}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}

a^{- 1 - 1} = \frac{1}{a^{2}}

a^{- 2} = \frac{1}{a^{2}}

Ogólnie, aby własności potęg były prawdziwe dla dowolnych wykładników, definiujemy dla $a \neq 0$ i liczby naturalnej $n$ potęgę o wykładniku całkowitym ujemnympotęgę o wykładniku całkowitym ujemnym:

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

Przykład 1

Obliczymy:

$2^{- 5} = {(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1}{32}$

${(\frac{1}{3})}^{- 4} = 3^{4} = 81$

${(\frac{2}{3})}^{- 3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8}$

${(- 0,1)}^{- 2} = {(- \frac{1}{0,1})}^{2} = \frac{1}{0,01}$

${(- 0,2)}^{- 3} = {(- \frac{1}{0,2})}^{3} = - \frac{1}{0,008}$

${(\sqrt{2})}^{- 2} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1}{2}$

${(\sqrt{5})}^{- 3} = {(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{3} = \frac{1}{5 \sqrt{5}}$ możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika $\frac{1}{5 \sqrt{5}} = \frac{1}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{25}$

Własności potęg

Własność: Własności potęg

Wszystkie własności potęg o wykładnikach naturalnych przenoszą się na potęgi o wykładnikach całkowitych. Zatem dla liczb całkowitych $k$ i $m$ oraz liczb $a$ i $b$ różnych od zera mamy:

$a^{k} \cdot a^{m} = a^{k + m}$
$a^{k} : a^{m} = a^{k - m}$
${(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}$
$a^{k} \cdot b^{k} = {(a \cdot b)}^{k}$
$a^{k} : b^{k} = {(a : b)}^{k}$

Przykład 2

Uprościmy wyrażenie ${(\frac{x^{- 2} \cdot y^{- 3}}{x^{- 3} \cdot y^{- 2}})}^{- 2}$ .

Korzystamy z własności działań na ułamkach:

$(\frac{x^{- 2} \cdot y^{- 3}}{x^{- 3} \cdot y^{- 2}})^{- 2} =$

Stosujemy wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach:

$= {(x^{- 2 - (- 3)} \cdot y^{- 3 - (- 2)})}^{- 2} =$

Z własności działań na liczbach całkowitych mamy:

$= {(x^{- 2 + 3} \cdot y^{- 3 + 2})}^{- 2} =$

$= {(x^{1} \cdot y^{- 1})}^{- 2} =$

Z rozdzielności potęgowania względem mnożeniarozdzielności potęgowania względem mnożenia mamy:

$= {(x^{1})}^{- 2} \cdot {(y^{- 1})}^{- 2} =$

Ze wzoru na potęgę potęgi mamy:

$= x^{- 2} \cdot y^{2} =$

Z definicji potęgi o wykładniku ujemnym mamy:

$= \frac{1}{x^{2}} \cdot y^{2} =$

Z własności działań na pierwiastkach mamy:

$= \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{18^{- 4} \cdot 36^{5}}{6^{- 2} \cdot 32^{2}}$ .

$\frac{18^{- 4} \cdot 36^{5}}{6^{- 2} \cdot 32^{2}} =$

Zamieniamy podstawy $6$ , $18$ i $36$ potęg na iloczyny $2 \cdot 3$ , $2 \cdot 9$ i $4 \cdot 9$ , zaś liczbę $32$ zapisujemy w postaci potęgi o podstawie $2$ : $32 = 2^{5}$

$= \frac{{(2 \cdot 9)}^{- 4} \cdot {(4 \cdot 9)}^{5}}{{(2 \cdot 3)}^{- 2} \cdot {(2^{5})}^{2}} =$

Zamieniamy liczby $4$ i $9$ na potęgi o podstawach $2$ i $3$ : $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$

$= \frac{{(2 \cdot 3^{2})}^{- 4} \cdot {(2^{2} \cdot 3^{2})}^{5}}{{(2 \cdot 3)}^{- 2} \cdot {(2^{5})}^{2}} =$

Korzystamy z rozdzielności potęgowania względem mnożenia

$= \frac{2^{- 4} \cdot {(3^{2})}^{- 4} \cdot {(2^{2})}^{5} \cdot {(3^{2})}^{5}}{2^{- 2} \cdot 3^{- 2} \cdot {(2^{5})}^{2}} =$

Korzystamy ze wzoru na potęgę potęgi

$= \frac{2^{- 4} \cdot 3^{- 8} \cdot 2^{10} \cdot 3^{10}}{2^{- 2} \cdot 3^{- 2} \cdot 2^{10}} =$

Korzystamy z własności działań na potęgach o tych samych podstawach

$= \frac{2^{6} \cdot 3^{2}}{2^{8} \cdot 3^{- 2}} =$

Ponownie korzystamy z własności działań na potęgach o tych samych podstawach

$= 2^{6 - 8} \cdot 3^{2 - (- 2)} =$

Korzystamy z własności działań na liczbach całkowitych

$= 2^{- 2} \cdot 3^{4} =$

Korzystamy z definicji potęg o wykładnikach naturalnych i wykładnikach całkowitych ujemnych

$= \frac{1}{4} \cdot 81 =$

Korzystamy z własności działań na ułamkach

$= \frac{81}{4} =$

Zamieniamy ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną

$= 20 \frac{1}{4}$

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania orzekająca, że dla dowolnych liczb $a$ i $b$ różnych od zera oraz dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi ${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$

potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

jeśli $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od zera, zaś $n$ jest liczbą naturalną, wówczas zachodzi wzór $a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n} = \frac{1}{a^{n}}$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik