Warto przeczytać

Jądro atomowe jest układem związanym, w którym protony i neutrony utrzymywane są razem dzięki wzajemnym, przyciągającym oddziaływaniom występującym między nimi. Ważną wielkością opisującą jądro atomowe jest jego energia wiązaniaEnergia wiązaniaenergia wiązania, która mówi nam, ile energii należy dostarczyć do jądra, aby przezwyciężyć występujące między nukleonamiNukleonynukleonami przyciągające oddziaływania i w rezultacie rozbić jądro na jego poszczególne składniki. Energia wiązania jądra atomowego (jak również każdego innego układu związanego) jest ilościowo równa energii wyzwolonej w procesie jego powstawania, czyli łączenia się poszczególnych składników (często w wielu etapach). Emisja energii w procesie dołączania do jądra kolejnych nukleonów oznacza, że całkowita energia jądra atomowego jest mniejsza, niż suma energii budujących je protonów i neutronów. Zgodnie ze sformułowaną przez Einsteina zasadą równoważności masy i energii, miarą zawartej w obiekcie lub układzie energii jest jego masa. Różnica w energiach układu i jego niezwiązanych składników wyraża się zatem w pewnym deficycie (ubytku) masyDefekt (deficyt) masydeficycie (ubytku) masy. W rezultacie masa spoczynkowa każdego związanego jądra atomowego jest zawsze mniejsza od sumy mas tworzących je protonów i neutronów, co możemy zapisać jako

gdzie $m_{p}$ i $m_{n}$ to masy protonu i neutronu, a $M_{j}$ to masa jądra zbudowanego z $N$ neutronów i $Z$ protonów. Różnica mas

nosi nazwę deficytu (lub defektu) masy. Deficyt masy jest różny dla każdego jądra atomowego i jest jedną z podstawowych wielkości charakteryzujących jądro. Dla typowego jądra atomowego wartość deficytu masy jest na poziomie 1% masy jądra, dlatego przy jego obliczaniu konieczne jest używanie możliwie najdokładniejszych wartości mas.

ROIMIvizzVkQt

Rys. 1. Na rysunku zaprezentowano schemat budowy jądra deuteru. Jądro deuteru zbudowane jest z jednego protonu i jednego neutronu. Proton narysowano w postaci czerwonej kulki z małą literą p w środku. Neutron narysowano w postaci zielonej kulki z małą literą n w środku. W centralnej części ilustracji widoczny jest proton oraz neutron w postaci kulek, które nachodzą na siebie. Wokół jądra atomowego widoczna jest orbita kołowa. Orbitę kołową narysowano jako czarny okrąg, w którego środku znajduje się jądro atomowe. Po orbicie wokół jądra atomowego porusza się elektron. Elektron narysowano w postaci niebieskiej kulki z małą literą e w środku.

Prześledźmy to na przykładzie izotopu wodoru, deuteru, którego jądro składa się z jednego protonu i jednego neutronu. Przyjmijmy, że masa protonu $m_{p}$ = 1,672622 · 10Indeks górny -27^-27 kg, masa neutronu $m_{n}$ = 1,674927 · 10Indeks górny -27^-27 kg, a masa jądra deuteru $M_{D}$ = 3,343583 · 10Indeks górny -27^-27 kg. Podstawiając te wielkości do podanego powyżej wzoru możemy uzyskać deficyt masy

Obliczmy jeszcze deficyt masy dla jądra litu ${}_3^{7}Li$, które jest lekkim jądrem o liczbie atomowej $Z$ = 3 i liczbie masowej $A$ = 7. Jądro ${}_3^{7}Li$ składa się zatem z 3 protonów i z $N = A - Z = 4$ neutronów. Przyjmijmy, że masa protonu $m_{p}$ = 1,672622 · 10Indeks górny -27^-27 kg, masa neutronu $m_{n}$ = 1,674927 · 10Indeks górny -27^-27 kg, a masa jądra litu $M_{Li}$ = 11,647615 · 10Indeks górny -27^-27 kg. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy, że deficyt masy wynosi 0,070 · 10Indeks górny -27^-27 kg, co stanowi 0,6% masy jądra litu.

W fizyce atomowej i subatomowej przyjęło się wyrażać energię w elektronowoltach (1 eV = 1,602177 · 10Indeks górny -19^-19 J), a masę w jednostkach eV/cIndeks górny 2², czyli w elektronowoltach podzielonych przez podniesioną do kwadratu prędkość światła w próżni $c$ = 3 · 10Indeks górny 8⁸ m/s. W obliczeniach przyjmuje się, że 1 eV/cIndeks górny 2² = 1,782662 · 10Indeks górny -36^-36 kg. Masa protonu w tych jednostkach wynosi 938,272 MeV/cIndeks górny 2² (czyt. megaelektronowoltów na $c^{2}$, czyli milionów eV/cIndeks górny 2²), a masa neutronu to 939,565 MeV/cIndeks górny 2². Jądro litu ${}_3^{7}Li$ ma masę 6533,833 MeV/cIndeks górny 2², a jego deficyt masy wynosi 39,243 MeV/cIndeks górny 2². Jednostka ta jest bardziej praktyczna w obliczeniach, niż kg. Masy spoczynkowe podane w eV/cIndeks górny 2² można łatwo przeliczyć na odpowiadające im energie korzystając ze wzoru Einsteina $E=mc^{2}$. Zatem, aby obliczyć energię wiązania jądra, wystarczy deficyt masy wyrażony w MeV/cIndeks górny 2² pomnożyć przez prędkość światła w próżni do kwadratu.

Do obliczenia deficytu masy niezbędna jest znajomość mas spoczynkowych nukleonów i samego jądra. Bezpośredni pomiar masy jądra jest często bardzo trudny lub wręcz niemożliwy do przeprowadzenia. W praktyce zazwyczaj znamy masę całego atomu. W takich przypadkach możemy obliczyć deficyt masy, zakładając, że masa spoczynkowa atomu $M_{a}$ jest w przybliżeniu równa masie jego jądra i sumarycznej masie Z elektronów krążących wokół niego. Zatem masa jądra

gdzie masa elektronu $m_{e}$ = 9,109 · 10Indeks górny -31^-31 kg = 0,511 MeV/cIndeks górny 2². Podstawiając $M_{j}=M_{a}-Zm_{e}$ do wzoru na deficyt masy otrzymujemy, że

Wzór ten często występuje w trochę innej postaci:

gdzie pogrupowano razem masy protonu i elektronu i zastąpiono liczbę neutronów różnicą liczby masowej $A$ i liczby atomowej $Z$ jądra, dla którego prowadzimy obliczenia.

Jeżeli przyjrzymy się prawej stronie otrzymanego wzoru, to dostrzeżemy, że jest to po prostu różnica sumarycznej masy swobodnych składników atomu i masy samego atomu. Oznacza to, że $\Delta M$ jest w rzeczywistości miarą energii wiązania nie samego jądra, ale obojętnego atomu rozumianego jako układ związany $Z$ protonów, $N$ neutronów i $Z$ elektronów. Należy jednak pamiętać, że masa jądra atomowego stanowi ponad 99,9% masy całego atomu i że masy protonu i neutronu są ponad tysiąc razy większe niż masa elektronu. Wróćmy na chwilę do naszego przykładu. Masa atomu litu wynosi 11,650348 · 10Indeks górny -27^-27 kg = 6535,366 MeV/cIndeks górny 2². Przy podanej dokładności obliczona powyższym wzorem wartość $\Delta M$ będzie taka sama jak obliczona wcześniej. W rzeczywistości, obliczony w powyższy sposób deficyt masy jądra atomowego jest minimalnie przeszacowany, ponieważ $\Delta M$ zawiera w sobie również wkład wynikający z wiązania elektronów w atomie. Dla jądra litu różnica ta jest na poziomie 0,0002 MeV/cIndeks górny 2² = 200 eV/cIndeks górny 2². Więcej na ten temat możesz przeczytać w e‑materiale „Jak obliczyć energię wiązania dla dowolnego izotopu?”.

Dla kompletności podamy jeszcze jeden wzór, który często występuje w literaturze. W ostatnim wzorze możemy zamienić sumę mas protonu i elektronu $m_{p}+m_{e}$ na masę atomu wodoru $M_{H}$ = 1,673533 · 10Indeks górny -27^-27 kg = 938,783 MeV/cIndeks górny 2². Wtedy

Podsumowując, deficyt masy jądra atomowego jest miarą jego energii wiązania. Aby go obliczyć, możemy skorzystać z masy atomowej i użyć któregoś z przedstawionych w tych e‑materiałach wzorów.

Słowniczek