Zastanowimy się, czy poniższe funkcje wymierne są przykładami funkcji homograficznych:

1. $f\left(x\right)=\frac{-10}{x}$

2. $f\left(x\right)=\frac{4x}{x+3}$

3. $f\left(x\right)=\frac{-2x+7}{-5x}$

4. $f\left(x\right)=\frac{4x+13}{-7x+8}$

Rozwiązanie:

Aby sprawdzić, czy podane funkcje wymierne są przykładami funkcji homograficznych musimy odczytać wartości współczynników i sprawdzić warunki zapisane w definicji.

1. Tak, ponieważ $c=1\ne 0$ i $0·0-1·\left(-10\right)\ne 0$.

2. Tak, ponieważ $c=1\ne 0$ i $4·3-1·0\ne 0$.

3. Tak, ponieważ $c=-5\ne 0$ i $-2·0-\left(-5\right)·7\ne 0$.

4. Tak, ponieważ $c=-7\ne 0$ i $4·8-\left(-7\right)·13\ne 0$.

Pokażemy, dlaczego poniższe przykłady funkcji wymiernych nie są przykładami funkcji homograficznych:

1. $f\left(x\right)=\frac{-6x+2}{3}$

2. $f\left(x\right)=\frac{5x+15}{x+3}$

Rozwiązanie:

1. Nie jest to funkcja homograficzna, ponieważ $c=0$

2. Nie jest to funkcja homograficzna, ponieważ $5·3-1·15=0$

Wyznaczymy dziedziny podanych funkcji homograficznych:

1. $f\left(x\right)=\frac{-5}{x}$

2. $f\left(x\right)=\frac{2x}{x+5}$

3. $f\left(x\right)=\frac{-2x-2}{-x+2}$

4. $f\left(x\right)=\frac{3x+1}{-2x+8}$

Rozwiązanie:

1. $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

2. $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-5\right\}$

3. $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$

4. $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$

Przekształcimy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{-x+5}{x-3}$ do postaci kanonicznej oraz narysujemy wykres tej funkcji.

Rozwiązanie:

Postać kanoniczna:

$f\left(x\right)=\frac{-x+5}{x-3}=\frac{-\left(x-3\right)+2}{x-3}=-1+\frac{2}{x-3}$

zatem, najpierw należy narysować wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{2}{x}$, a następnie przesunąć o wektor $\left[3,-1\right]$.

Wykres funkcji:

R1dLc2USM7fRR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 8 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy funkcji. Pierwszy z nich ma równanie $y=\frac{2}{x}$, ma kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Wykres ten składa się z dwóch części pierwsza z nich znajduje się w całości w trzeciej ćwiartce układu, a druga z nich znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce układu. Drugi wykres ma równanie $y=\frac{-x+5}{x-3}$ i również ma kształt hiperboli, asymptotami drugiego wykresu są proste o równaniach: $x=3$ oraz $y=-1$. Wykres ten również składa się z dwóch części, jedna z nich przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus pięć trzecich zamknięcie nawiasu, a druga część przecina oś x w punkcie nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono również trzy strzałki, wszystkie są podpisane $\left[3,-1\right]$. Pierwsza strzałka łączy wykres pierwszy z wykresem drugim i biegnie z punktu nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu do punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga strzałka łączy punkty przecięcia się asymptot i biegnie z punktu nawias zero średnik zero zamkniecie nawiasu do punktu nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Trzecia strzałka również łączy oba wykresy i biegnie z punktu nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu do punktu nawias dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Wyznaczymy wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych należące do wykresu funkcji homograficznej $f\left(x\right)=\frac{4x-6}{x-1}$.

Rozwiązanie:

Przekształcimy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{4x-6}{x-1}$ do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{4x-6}{x-1}=\frac{4\left(x-1\right)-2}{x-1}=4-\frac{2}{x-1}$

Ponieważ $4$ jest liczbą całkowitą, wartość funkcji $f\left(x\right)$ będzie liczbą całkowitą, jeśli wyrażenie $\frac{2}{x-1}$ będzie liczbą całkowitą. Zatem $x-1$ musi być dzielnikiem liczby $2$, czyli:

$x-1=2$

lub

$x-1=1$

lub

$x-1=-2$

lub

$x-1=-1$,

zatem $x\in \left\{-1, 0, 2, 3\right\}$.

Odpowiedź:

Punkty o obu współrzędnych całkowitych należące do wykresu funkcji $f$, to:
$\left(-1,5\right)$, $\left(0,6\right)$, $\left(2,2\right)$, $\left(3,3\right)$.

Wyznaczymy równania osi symetrii oraz współrzędne środka symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+4}{x+2}$.

Rozwiązanie:

Przekształcimy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+4}{x+2}$ do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{3x+4}{x+2}=\frac{3\left(x+2\right)-2}{x+2}=3-\frac{2}{x+2}$

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+4}{x+2}$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $g\left(x\right)=-\frac{2}{x}$ o wektor $\left[-2,3\right]$.

Wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{2}{x}$ posiada osie symetrii o równaniach: $y=x$ oraz $y=-x$. Wraz z przesunięciem wykresu funkcji, przesuwają się również jego osie symetrii, czyli osie symetrii wykresu funkcji $f$ mają wzory:

$y=\left(x+2\right)+3=x+5$

$y=-\left(x+2\right)+3=-x+1$

Środek symetrii jest punktem przecięcia się asymptot wykresu funkcji, czyli ma współrzędne $\left(-2,3\right)$.

Odpowiedź:

Równania osi symetrii:

$y=x+5$

$y=-x+1$

Współrzędne środka symetrii:

$S=\left(-2,3\right)$

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{3x+4}{x+2}$ oraz środek symetrii i osie symetrii wykresu.

RS4J9NuvA6yX5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 9 do 5 i pionową osią y od minus 2 do osiem. W układzie zaznaczono trzy wykresy funkcji. Pierwsza z nich ma równanie $y=\frac{3x+4}{x+2}$ i ma kszałt hieprboli. Jej asymptotami są proste o równaniach $x=-2$ oraz $y=3$. Drugi wykres jest ukośną prostą o równaniu $y=x+5$, został on namalowany linią przerywaną. Trzeci wykres m również jest ukośną prostą i został namalowany linią przerywaną, jego równanie to: $y=-x+1$. Obie proste przecinają się w punkcie S o współrzędnych nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, który jest punktem przecięcia się asymptot wykresu pierwszego.

Udowodnimy, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$, $x\ne 1$ jest malejąca w zbiorze $\left(-\infty ,1\right)$.

Rozwiązanie:

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$, $x_1$, $x_2\in \left(-\infty ,1\right)$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2\in \left(-\infty ,1\right)$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2x_1-1}{x_1-1}-\frac{2x_2-1}{x_2-1}=\frac{\left(2x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}-\frac{\left(2x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=$

$=\frac{2x_1{x}_2-2x_1-x_2+1-2x_1{x}_2+x_1+2x_2-1}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}>0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$

• $-\left(x_1-x_2\right)>0$ ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią

• $x_1-1<0$ z założenia, ponieważ $x_1<1$

• $x_2-1<0$ z założenia, ponieważ $x_2<1$

• $\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczba dodatnią

• $\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}>0$, ponieważ iloraz dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$. Zatem funkcja jest malejąca, ponieważ $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.

funkcja $f\left(x\right)=\frac{W_1\left(x\right)}{W_2\left(x\right)}$, gdzie $W_1\left(x\right)$, $W_2\left(x\right)$ są wielomian i $W_2\left(x\right)\not\equiv 0$

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera. Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji