Aby dodać lub odjąć dwa wyrażenia wymiernewyrażenie wymiernewyrażenia wymierne, postępujęmy zgodnie z poniższymi krokami.

1. Sprowadzamy je do wspólnego mianownika, uzyskując ułamki postaci $\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}$ i $\frac{G\left(x\right)}{P\left(x\right)}$; gdzie $F\left(x\right)$, $G\left(x\right)$, $P\left(x\right)$ to wielomiany, a wielomian $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym.

2. Dodajemy lub odejmujemy liczniki:

   $\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{G\left(x\right)}{P\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)+G\left(x\right)}{P\left(x\right)}$;

   $\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}-\frac{G\left(x\right)}{P\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)-G\left(x\right)}{P\left(x\right)}$.

3. Podajemy założenia wynikające z tego, że mianowniki ułamków nie mogą przyjmować wartości $0$.

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{x-5}{x+5}$ i $\frac{6-x}{3x+15}$.

• Aby obliczyć sumę, na początek sprowadzamy mianowniki do postaci iloczynowej tak, by łatwo było wyznaczyć wspólny mianownik.

  $\frac{x-5}{x+5}+\frac{6-x}{3x+15}=$

  $=\frac{x-5}{x+5}+\frac{6-x}{3\left(x+5\right)}$

• Następnie sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika - w tym przypadku $3\left(x+5\right)$ - i dodajemy.

  $\frac{x-5}{x+5}+\frac{6-x}{3x+15}=$

  $=\frac{x-5}{x+5}+\frac{6-x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{3\left(x-5\right)}{3\left(x+5\right)}+\frac{6-x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{3x-15}{3\left(x+5\right)}+\frac{6-x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{3x-15+6-x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{2x-9}{3\left(x+5\right)}$

• Różnicę obliczamy analogicznie.

  $\frac{x-5}{x+5}-\frac{6-x}{3x+15}=$

  $=\frac{x-5}{x+5}-\frac{6-x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{3x-15}{3\left(x+5\right)}-\frac{6-x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{3x-15-\left(6-x\right)}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{3x-15-6+x}{3\left(x+5\right)}=$

  $=\frac{4x-21}{3\left(x+5\right)}$

• Założenia (wspólne dla dodawania wyrażeń wymiernych i odejmowania wyrażeń wymiernych): $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-5\right\}$.

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{7x+3}{x^2-3x}$ i $\frac{2x-1}{x^2-2x}$.

• Zacznijmy od zapisania mianowników w postaci iloczynowej i określenia wspólnego mianownika.

• Najpierw obliczymy sumę.

  $\frac{7x+3}{x^2-3x}+\frac{2x-1}{x^2-2x}=$

  $=\frac{7x+3}{x\left(x-3\right)}+\frac{2x-1}{x\left(x-2\right)}=$

  $=\frac{\left(7x+3\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{7x^2-11x-6+2x^2-7x+3}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{9x^2-18x-3}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$

• Teraz obliczymy różnicę.

  $\frac{7x+3}{x^2-3x}-\frac{2x-1}{x^2-2x}=$

  $=\frac{\left(7x+3\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(2x-1\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{7x^2-11x-6-2x^2+7x-3}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{5x^2-4x-9}{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0;2;3\right\}$

Obliczmy $\frac{5}{x+2}-\frac{3x}{x-2}+\frac{7}{x^2-4}$.

• Zauważmy, że wspólnym mianownikiem będzie mianownik ostatniego ułamka.

• $\frac{5}{x+2}-\frac{3x}{x-2}+\frac{7}{x^2-4}=$

  $=\frac{5}{x+2}-\frac{3x}{x-2}+\frac{7}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=$

  $=\frac{5\left(x-2\right)-3x\left(x+2\right)+7}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=$

  $=\frac{5x-10-3x^2-6x+7}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=$

  $=\frac{-3x^2-x-3}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2;2\right\}$

Obliczmy $\frac{3x}{2x^2-5x}-\frac{x+1}{4x^2-25}+2$.

• Zaczynamy od rozłożenia mianowników na czynniki i ustalenia wspólnego mianownika. Liczbę całkowitą $2$ również zapisujemy w postaci ułamka i doprowadzamy do wspólnego mianownika odpowiednio rozszerzając ułamek $\frac{2}{1}$.

• $\frac{3x}{2x^2-5x}-\frac{x+1}{4x^2-25}+2=$

  $=\frac{3x}{x\left(2x-5\right)}-\frac{x+1}{\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)}+2=$

  $=\frac{3\left(2x+5\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)}-\frac{x+1}{\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)}+\frac{2\left(4x^2-25\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)}=$

  $=\frac{6x+15-x-1+8x^2-50}{\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)}=$

  $=\frac{8x^2+5x-36}{\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{5}{2};0;\frac{5}{2}\right\}$

Obliczmy $\frac{3x^4-11x^3-x-6}{x^4-3x^3+x-3}+\frac{3x}{x^2-2x-3}-\frac{x^2}{x^2-x+1}-2$.

• Zacznijmy od zapisania wielomianów z mianowników w postaci iloczynowej. Tu trzeba sobie w razie potrzeby przypomnieć metody rozkładania wielomianów na czynniki nierozkładalne.

  $\frac{3x^4-11x^3-x-6}{x^4-3x^3+x-3}+\frac{3x}{x^2-2x-3}-\frac{x^2}{x^2-x+1}-2=$

  $=\frac{3x^4-11x^3-x-6}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}+\frac{3x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}-\frac{x^2}{x^2-x+1}-2=$

• Teraz łatwo możemy zauważyć, że iloczyn z mianownika pierwszego ułamka będzie wspólnym mianownikiem w całym działaniu. Pozostałe ułamki (również liczba $2$, na którą można popatrzyć jako na ułamek $\frac{2}{1}$) musimy odpowiednio rozszerzyć.

  $=\frac{3x^4-11x^3-x-6}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}+\frac{3x\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}+$

  $-\frac{x^2\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}-\frac{2\left(x^4-3x^3+x-3\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=$

  $=\frac{3x^4-11x^3-x-6+3x^3-3x^2+3x-x^4+2x^3+3x^2-2x^4+6x^3-2x+6}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=$

  $=0$

  Zauważmy, że wszystkie wyrazy w liczniku się zredukują.

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1;3\right\}$

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, w którym $P\left(x\right)$ i $Q\left(x\right)$ są wielomianami zmiennej $x$, przy czym $Q\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym;