Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest kwadratem o polu $8$. Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

Jest to graniastosłup, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości.

Oznaczmy krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przez $a$.

Mamy wtedy $a^2=8$, a stąd $a=2\sqrt{2}$.

Korzystając ze wzoru na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mamy

$P_c=3·{\left(2\sqrt{2}\right)}^2\sqrt{3}+6·2\sqrt{2}·2\sqrt{2}=24\sqrt{3}+48=24\left(\sqrt{3}+2\right)$.

Krótsza przekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $6$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$. Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1HMBAfkd4lX6

Obrazek przedstawia trójkąt prostokątny umieszczony w graniastosłupie sześciokątnym prawidłowym. Trójkąt umieszczono tak, że jedną z jego przyprostokątnych jest wysokość graniastosłupa równa H, podstawą jest krótsza przekątna sześciokąta równa a pierwiastków kwadratowych z trzech. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem trzydziestu stopni. Wartość przeciwprostokątnej jest równa sześć.

Mamy $\sin 30°=\frac{H}{6}$, a stąd $\frac{1}{2}=\frac{H}{6}$ i ostatecznie $H=3$.

Podobnie $\cos 30°=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ i stąd $a=3$.

A zatem $P_c=3·9\sqrt{3}+6·9=27\sqrt{3}+54=27\left(\sqrt{3}+2\right)$.

Przekątne ścian bocznych wychodzące ze wspólnego wierzchołka graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wraz z łączącą je przekątną podstawy tworzą trójkąt równoboczny o polu $9\sqrt{3}$. Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy graniastosłupa. Wówczas długość przekątnej ściany bocznej jest równa długości krótszej przekątnej podstawy $a\sqrt{3}$.

RGoyAkzAjRLsz

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny, o boku a pierwiastków kwadratowych z trzech, umieszczony w graniastosłupie sześciokątnym, prawidłowym, o boku podstawy równym a i wysokości równej H. Trójkąt umieszczono tak, że jeden z jego wierzchołków styka się z podstawą graniastosłupa, na łączeniu dwóch boków sześciokąta. Połączenie dwóch pozostałych wierzchołków tworzy mniejszą przekątną górnej podstawy.

Czyli $\frac{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$. Czyli $3a^2=36$, a stąd $a=2\sqrt{3}$. Mamy stąd przekątną ściany bocznej równą $6$.

Obliczamy wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:

$H^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=6^2$. Czyli $H^2=36-12=24$ i ostatecznie $H=2\sqrt{6}$.

Możemy teraz obliczyć pole powierzchni graniastosłupa

$P_c=2·6·\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}+6·2\sqrt{3}·2\sqrt{6}=36\sqrt{3}+24\sqrt{18}=$

$=36\sqrt{3}+72\sqrt{2}=36\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)$.

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $216$, a kąt nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do podstawy wynosi $30°$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zrobimy rysunek pomocniczy:

RoUt0bkKTW6qT

Obrazek przedstawia trójkąt prostokątny umieszczony w graniastosłupie sześciokątnym prawidłowym. Trójkąt umieszczono tak, że jedną z jego przyprostokątnych jest wysokość graniastosłupa równa H, poprowadzona od punktu F zawartego w podstawie dolnej, do punktu L należącego do podstawy górnej. Podstawą trójkąta jest krótsza przekątna sześciokąta równa a pierwiastków kwadratowych z trzech, poprowadzona od punktu F do punktu B znajdującego się na podstawie graniastosłupa. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem trzydziestu stopni i łączy ona punkty L i B.

Z trójkąta $BFL$ mamy $\mathrm{tg}30°=\frac{H}{a\sqrt{3}}$, czyli $\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{a\sqrt{3}}$. Ostatecznie $a=H$.

A zatem korzystając z pola powierzchni bocznej $6a^2=216$ i stąd $a=H=6$.

Obliczymy objętość tego graniastosłupa $V=6·\frac{36\sqrt{3}}{4}·6=324\sqrt{3}$.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $60\sqrt{3}$ a krawędź jego podstawy ma długość $2\sqrt{3}$. Oblicz miarę kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do podstawy.

Obliczymy długość wysokości tego graniastosłupa:

$60\sqrt{3}=2·6·\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}+6·2\sqrt{3}H$

A stąd $60\sqrt{3}=36\sqrt{3}+12\sqrt{3}H$, czyli $24\sqrt{3}=12\sqrt{3}H$. Ostatecznie $H=2$.

Zróbmy rysunek pomocniczy. Uwzględnimy na nim, że dłuższa przekątna podstawy ma długość $2a=4\sqrt{3}$.

Szukany kąt został oznaczony przez $\beta$.

R15wn6hstRISB

Obrazek przedstawia trójkąt prostokątny umieszczony w graniastosłupie sześciokątnym prawidłowym. Trójkąt umieszczono tak, że jedną z jego przyprostokątnych jest wysokość graniastosłupa równa 2, poprowadzona od punktu F zawartego w podstawie dolnej, do punktu L należącego do podstawy górnej. Podstawą trójkąta jest dłuższa przekątna sześciokąta równa cztery pierwiastków kwadratowych z trzech, poprowadzona od punktu F do punktu C znajdującego się na podstawie graniastosłupa, symetrycznie względem środka do punktu F. Przeciwprostokątna jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem beta. Przeciwprostokątna łączy punkty L i C.

Mamy $\mathrm{tg}\beta =\frac{2}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\approx 0,2887$. Czyli $\beta \approx 16°$.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $72+48\sqrt{3}$, a suma długości wszystkich krawędzi $66$. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa, wiedząc, że wyrażają się liczbami wymiernymi.

Ułożymy układ równań o niewiadomych $a$, $H$, gdzie $a$ jest krawędzią podstawy, a $H$ wysokością graniastosłupa.

$\left\{\begin{array}{l}3\sqrt{3}{a}^2+6aH=72+48\sqrt{3}\\ 12a+6H=66 |:6 \end{array}\right.$

Z drugiego równania wyznaczmy $H$:

$H=11-2a$ i wstawmy do pierwszego równania:

$3\sqrt{3}{a}^2+6a\left(11-2a\right)=72+48\sqrt{3}$.

Dzieląc równanie stronami przez $3$ i porządkując mamy:

$\left(\sqrt{3}-4\right)a^2+22a-24-16\sqrt{3}=0$

$∆=484-4\left(\sqrt{3}-4\right)\left(-24-16\sqrt{3}\right)=484+32\left(\sqrt{3}-4\right)\left(3+2\sqrt{3}\right)=$

$=484+32\left(-6-5\sqrt{3}\right)=292-160\sqrt{3}={\left(8\sqrt{3}-10\right)}^2$

Czyli

$a_1=\frac{-22-\left(8\sqrt{3}-10\right)}{2\sqrt{3}-8}=\frac{-12-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-8}=\frac{6+4\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}=\frac{24+6\sqrt{3}+16\sqrt{3}+12}{13}=\frac{36+22\sqrt{3}}{13}\notin \mathrm{\mathbb{Q}}$

$a_2=\frac{-32+8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-8}=4$

A zatem $a=4$ i $H=11-8=3$.

suma pól podstaw i wszystkich ścian bocznych graniastosłupa

odcinek łączący wierzchołki dwóch równoległych podstaw graniastosłupa nie leżący na jego ścianie bocznej