Przeczytaj

Już wiesz

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi $x$ , $y$ , określoną wzorem $x \cdot y = a$ , gdzie $a$ jest liczbą różną od zera. O zmiennych $x$ , $y$ mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Ważne!

Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały.

W zastosowaniach praktycznych współczynnik proporcjonalności jest dodatni.

Zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi $x$ i $y$ możemy zapisać również w postaci $y = \frac{a}{x}$ .

Przykład 1

Narysujemy wykres proporcjonalności odwrotnej dla $a = 1$ , czyli wykres funkcji $y = \frac{1}{x}$ .

Rozwiązanie:

W tym celu sporządzimy tabelkę

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$f (x) = \frac{1}{x}$	$- \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Na podstawie tabelki sporządzamy wykres:

R45KvXqlVYwsu

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Narysowano wykres funkcji fx=1x. Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji przechodzi przez punkty o współrzędnych -1;-1, oraz 1;1.

Ważne!

Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w $I$ oraz $III$ ćwiartce układu współrzędnych. Podobnie wygląda wykres proporcjonalności odwrotnej dla wszystkich wartości współczynnika $a > 0$ .

Przykład 2

Narysujemy wykres proporcjonalności odwrotnej dla $a = - 2$ , czyli wykres funkcji $y = - \frac{2}{x}$ .

Rozwiązanie:

Sporządzamy tabelkę:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$f (x) = - \frac{2}{x}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$

Na podstawie tabelki sporządzamy wykres:

RiHZahiVIfEcw

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji fx=-2x. Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji przechodzi przez punkty o współrzędnych -2;1, -1;2, 1;-2, 2;-1.

Ważne!

Wykresem funkcji jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w $II$ oraz $IV$ ćwiartce układu współrzędnych. Podobnie wygląda wykres proporcjonalności odwrotnej dla wszystkich wartości współczynnika $a < 0$ .

Ciekawostka

Gałęzie hiperboli, która jest wykresem proporcjonalności odwrotnej, zbliżają się do osi układu współrzędnych, lecz nigdy ich nie dotkną. Proste pokrywające się z osiami układu współrzędnych noszą nazwę asymptotasymptotaasymptot wykresu funkcji.

Przykład 3

Narysujemy wykres zależności pomiędzy długością boków prostokąta o polu równym $8$ .

Rozwiązanie:

Zobaczmy, jakie wartości mogą przyjmować długości boków tego prostokąta.

Przykładowe wielkości przedstawia tabelka:

Przykładowe wartości
długość	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$
szerokość	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$

Zależność pomiędzy bokami $x$ oraz $y$ prostokąta o polu równym $8$ można zapisać jako $x \cdot y = 8$ , czyli $y = \frac{8}{x}$ . Oczywiście $x, y > 0$ ponieważ są to długości boków.

Wykres:

RQ3uqDrb3S6zl

Przykład 4

Wiedząc, że na wykonanie pewnej pracy w ciągu $5 h$ potrzebujemy $4$ pracowników, narysujemy wykres opisanej zależności.

Rozwiązanie:

Liczba pracowników oraz czas potrzebny na wykonanie określonej pracy to wielkości odwrotnie proporcjonalne. Ich iloczyn jest wielkością stałą.

Przykładowe wartości tych wielkości przedstawia tabelka:

Przykładowe wartości
liczba pracowników	$1$	$2$	$4$	$5$	$10$	$20$
czas pracy $[h]$	$20$	$10$	$5$	$4$	$2$	$1$

Wykres:

ROh2B2FdiIz0m

Zwróćmy uwagę, że liczba pracowników musi być liczbą naturalną dodatnią.

Przykład 5

Narysujemy wykres proporcjonalności odwrotnej wiedząc, że przechodzi on przez punkt $(\sqrt{2} - \sqrt{3}; \sqrt{2} + \sqrt{3})$ .

Rozwiązanie:

Aby narysować wykres należy znać współczynnik proporcjonalności odwrotnej. Wyznaczymy go podstawiając do wzoru opisującego zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi współrzędne punktu, czyli:

$a = (\sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} + \sqrt{3})$

$a = - 1$

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{x}$

Rsyrs363ELyBu

Słownik

asymptota

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera, asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji

Wprowadzenie

Aplet

Słownik