Odrębnym aspektem, ale nie mniej ważnym są przekroje jakie można otrzymać przecinając czworościan foremny płaszczyznami. Sytuacje te ilustruje poniższy pokaz slajdów.

RMDgMOxpDfdu9
Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.

Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.

Kiedy czworościan foremnyczworościan foremnyczworościan foremny ustawimy tak, że podstawą jest jedna z jego ścian, to przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy da nam zawsze trójkąt podobny do tej podstawy. Również przekrój, jaki uzyskujemy tnąc czworościan foremny płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośnąkrawędzie skośne czworościanu foremnegokrawędź do niej skośną, jest trójkątem.

RRBUqPW9YJwwp
Aplet przedstawia czworościan foremny, który ustawiono w taki sposób, że jedna z jego ścian jest podstawą. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy otrzymujemy przekrój o kształcie trójkąta, który jest równoległy do ściany, którą przyjęto jako podstawę. Jeśli przekrój znajduje się na samym dole czworościanu to pokrywa się z podstawą, przesuwając go w stronę wierzchołka zmniejsza się powierzchnia tego przekroju. Zaznaczając przekrój płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośną otrzymujemy przekrój w kształcie trójkąta. Jego jedna krawędź pokrywa się z krawędzią boczną, druga leży w płaszczyźnie podstawy, a trzecia leży w płaszczyźnie ściany bocznej.

Jeśli przetniemy czworościan foremny płaszczyzną prostopadłą do podstawy tak, aby przeciąć cztery krawędzie czworościanu, i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego, to otrzymany przekrój jest trapezem równoramiennym.

R133Y1XR6npOs
Aplet przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Zaznaczając:przekrój płaszczyzną prostopadłą do podstawy w czworościanie pojawia się trapez o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC. Płaszczyzna trapezu jest prostopadła to płaszczyzny, w której leży ściana A B C. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do krawędzi skośnych otrzymujemy przekrój w kształcie prostokąta o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC.

W sytuacji, gdy płaszczyzna przecięcia jest równoległa do krawędzi skośnych czworościanu, otrzymujemy czworokąt, który jest prostokątem, ponieważ kąt między krawędziami skośnymi jest kątem prostym. (Kąt między krawędzią i rzutem prostokątnym krawędzi do niej skośnej na płaszczyznę, w której leży dana krawędź.)

W szczególnym przypadku, gdy boki prostokąta łączą środki sąsiednich krawędzi czworościanu, przekrój jest kwadratem.

Przykład 1

Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym 22 cm2. Obliczymy długość krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie:

RAAMJS3bgBUGs

Oznaczmy literami:

a – krawędź czworościanu foremnego,

H – jego wysokość,

h=a32 - wysokość trójkąta równobocznego, będącego ścianą czworościanu.

Punkt E jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC. Wiemy, że dzieli on wysokość trójkąta na odcinki w stosunku CE:EF=2:1. Stąd długość odcinka EF jest równa 13h. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy 13h2+H2=h2. Stąd H2=89h2, czyli wysokość czworościanu foremnego:

H=223h=223·a32=a63.

Pole powierzchni przekroju czworościanu – trójkąta CDF wynosi 22 cm2. Podstawiając do wzoru na pole trójkąta PCDF=h·H2=22, gdzie h=a32H=a63. Stąd a32·a632=22 i dalej a224=22, czyli a2=8. Długość krawędzi podstawy czworościanu a=22 cm.

Przykład 2

Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt równoramienny. Wyznaczymy miary kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie:

RwQQc2uBovsNr

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech α=CFD, a β=FDC=DCF. Zauważmy, że sinα=Hh. Korzystając z zależności h=a32H=a63, otrzymujemy: sinα=a63a32=2633=223. Z tablic odczytujemy α70°. Kąt α to kąt między ścianami czworościanu foremnego. Trójkąt CFD jest równoramienny, zatem kąt β, kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi β=180°-α255°.

Przykład 3

Czworościan foremny ABCD został przecięty płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy AB i przecinającą krawędź do niej skośną DC w punkcie E tak, że DE:EC=2:1. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.

Rozwiązanie:

RSPULKhU5xDQS
R1MlWYfEQeHcS

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Długość odcinka BE oznaczmy przez x, zaś długość wysokości trójkąta równoramiennego ABE przez y. Z warunków przykładu wynika, że EC=13a. Zatem korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE mamy x2=a2+a322aa3cos60=a2+a2923a212=10a293a29=79a2. Wyliczymy wysokość y trójkąta równoramiennego ABE z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego BFE: x2=a22+y2. Stąd y2=x2-a22=79a2-a24=1936a2. Pierwiastkując otrzymujemy y=196a. Zatem pole przekroju ABE wynosi P=a·y2=a·196a2=a21912.

Przykład 4

Czworościan foremny o krawędzi długości a został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.

Rozwiązanie:

RObOXAdtbOXqL

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech x oznacza długość odcinka GH, czyli długość wysokości trójkąta EFH, jaki uzyskujemy w tym przekroju. Trójkąty prostokątne ASDAGH są podobne, mają ten sam kąt GAH. Stąd otrzymujemy zależność: DSAS=xAG. Ponieważ DS jest wysokością czworościanu, więc DS=a63. Długość odcinka AS=23h, gdzie h wysokość trójkąta równobocznego – ściany czworościanu. Czyli AS=23h=23·a32=a33. Długość odcinka AG=a232. Wynika to z faktu, że trójkąt AEF jest trójkątem równobocznym o podstawie a2 (trójkąty ABCAEF są podobne o skali podobieństwa 2:1). Podstawiając otrzymujemy: AG·DSAS=a232·a63a33=a64. Zatem pole przekroju wynosi P=a2·a642=a2616.

Przykład 5

Czworościan foremny o krawędzi długości a został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego. Odległość płaszczyzny przecięcia od tej równoległej do niej krawędzi wynosi d. W wyniku przecięcia otrzymano trapez równoramienny. Wyznaczymy pole powierzchni uzyskanego trapezu.

Rozwiązanie:

R16kCjJvFYnP5

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole szukanego trapezu EFGH wyraża się wzorem P=HG+EF2·JK. Niech x oznacza długość odcinka BLCM. Z trójkąta BLH, mamy tg60°=dx. Stąd x=d3. Zatem HG=a-2x=a-2d3=a-233d. Z podobieństwa trójkątów ISDIJK (trójkąty prostokątne o wspólnym kącie ostrym, ale też możemy skorzystać z twierdzenia Talesa) mamy zależność: JKd=SDSI. Ponieważ SD jest wysokością czworościanu H, a długość odcinka SI=13h, to JKd=H13h. Stąd JK=d·3Hh=d·3a63a32=22d. Wyznaczyliśmy wysokość trapezu. Zachodzi również zależność IKJK=hH. Zatem IK=JK·hH=22d·a32a63=3d. Wykorzystamy tę równość do obliczenia długości drugiej podstawy trapezu. Niech y oznacza długość odcinka BNCO. Długość odcinka EN jest równa długości IK. Z trójkąta BNE mamy tg60°=ENy. Stąd y=EN3. Krótsza podstawa trapezu EF=a-2y=a-2EN3=a-23d3=a-23d. Podstawiając do wzoru na pole trapezu:

P=HG+EF2·JK=a-233d+a-23d2·22d=2a-833d2·22d=22a-433d·d

Słownik

czworościan foremny
czworościan foremny

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami

krawędzie skośne czworościanu foremnego
krawędzie skośne czworościanu foremnego

krawędzie, które zawierają się w prostych nie leżących w jednej płaszczyźnie

Re639ZChmCzUo