Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Odrębnym aspektem, ale nie mniej ważnym są przekroje jakie można otrzymać przecinając czworościan foremny płaszczyznami. Sytuacje te ilustruje poniższy pokaz slajdów.

RMDgMOxpDfdu9
Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.

Ilustracja interaktywna przedstawia czworościan foremny w którym zaznaczono następujące przekroje. Pierwszy o kształcie trójkąta równoramiennego, drugi o kształcie trójkąta równobocznego, trzeci o kształcie prostokąta i czwarty o kształcie trapezu równoramiennego.

Kiedy czworościan foremnyczworościan foremnyczworościan foremny ustawimy tak, że podstawą jest jedna z jego ścian, to przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy da nam zawsze trójkąt podobny do tej podstawy. Również przekrój, jaki uzyskujemy tnąc czworościan foremny płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośnąkrawędzie skośne czworościanu foremnegokrawędź do niej skośną, jest trójkątem.

RRBUqPW9YJwwp
Aplet przedstawia czworościan foremny, który ustawiono w taki sposób, że jedna z jego ścian jest podstawą. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy otrzymujemy przekrój o kształcie trójkąta, który jest równoległy do ściany, którą przyjęto jako podstawę. Jeśli przekrój znajduje się na samym dole czworościanu to pokrywa się z podstawą, przesuwając go w stronę wierzchołka zmniejsza się powierzchnia tego przekroju. Zaznaczając przekrój płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przecinającą krawędź do niej skośną otrzymujemy przekrój w kształcie trójkąta. Jego jedna krawędź pokrywa się z krawędzią boczną, druga leży w płaszczyźnie podstawy, a trzecia leży w płaszczyźnie ściany bocznej.

Jeśli przetniemy czworościan foremny płaszczyzną prostopadłą do podstawy tak, aby przeciąć cztery krawędzie czworościanu, i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego, to otrzymany przekrój jest trapezem równoramiennym.

R133Y1XR6npOs
Aplet przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Zaznaczając:przekrój płaszczyzną prostopadłą do podstawy w czworościanie pojawia się trapez o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC. Płaszczyzna trapezu jest prostopadła to płaszczyzny, w której leży ściana A B C. Zaznaczając: przekrój płaszczyzną równoległą do krawędzi skośnych otrzymujemy przekrój w kształcie prostokąta o wierzchołkach E F G H, przy czym wierzchołek E leży na krawędzi AD, wierzchołek F na krawędzi BD, wierzchołek G na krawędzi BC, a wierzchołek H na krawędzi AC.

W sytuacji, gdy płaszczyzna przecięcia jest równoległa do krawędzi skośnych czworościanu, otrzymujemy czworokąt, który jest prostokątem, ponieważ kąt między krawędziami skośnymi jest kątem prostym. (Kąt między krawędzią i rzutem prostokątnym krawędzi do niej skośnej na płaszczyznę, w której leży dana krawędź.)

W szczególnym przypadku, gdy boki prostokąta łączą środki sąsiednich krawędzi czworościanu, przekrój jest kwadratem.

Przykład 1

Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym 22 cm2. Obliczymy długość krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie:

RAAMJS3bgBUGs

Oznaczmy literami:

a – krawędź czworościanu foremnego,

H – jego wysokość,

h=a32 - wysokość trójkąta równobocznego, będącego ścianą czworościanu.

Punkt E jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC. Wiemy, że dzieli on wysokość trójkąta na odcinki w stosunku CE:EF=2:1. Stąd długość odcinka EF jest równa 13h. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy 13h2+H2=h2. Stąd H2=89h2, czyli wysokość czworościanu foremnego:

H=223h=223·a32=a63.

Pole powierzchni przekroju czworościanu – trójkąta CDF wynosi 22 cm2. Podstawiając do wzoru na pole trójkąta PCDF=h·H2=22, gdzie h=a32H=a63. Stąd a32·a632=22 i dalej a224=22, czyli a2=8. Długość krawędzi podstawy czworościanu a=22 cm.

Przykład 2

Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt równoramienny. Wyznaczymy miary kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie:

RwQQc2uBovsNr

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech α=CFD, a β=FDC=DCF. Zauważmy, że sinα=Hh. Korzystając z zależności h=a32H=a63, otrzymujemy: sinα=a63a32=2633=223. Z tablic odczytujemy α70°. Kąt α to kąt między ścianami czworościanu foremnego. Trójkąt CFD jest równoramienny, zatem kąt β, kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi β=180°-α255°.

Przykład 3

Czworościan foremny ABCD został przecięty płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy AB i przecinającą krawędź do niej skośną DC w punkcie E tak, że DE:EC=2:1. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.

Rozwiązanie:

RSPULKhU5xDQS
R1MlWYfEQeHcS

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Długość odcinka BE oznaczmy przez x, zaś długość wysokości trójkąta równoramiennego ABE przez y. Z warunków przykładu wynika, że EC=13a. Zatem korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE mamy x2=a2+a322aa3cos60=a2+a2923a212=10a293a29=79a2. Wyliczymy wysokość y trójkąta równoramiennego ABE z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego BFE: x2=a22+y2. Stąd y2=x2-a22=79a2-a24=1936a2. Pierwiastkując otrzymujemy y=196a. Zatem pole przekroju ABE wynosi P=a·y2=a·196a2=a21912.

Przykład 4

Czworościan foremny o krawędzi długości a został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.

Rozwiązanie:

RObOXAdtbOXqL

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech x oznacza długość odcinka GH, czyli długość wysokości trójkąta EFH, jaki uzyskujemy w tym przekroju. Trójkąty prostokątne ASDAGH są podobne, mają ten sam kąt GAH. Stąd otrzymujemy zależność: DSAS=xAG. Ponieważ DS jest wysokością czworościanu, więc DS=a63. Długość odcinka AS=23h, gdzie h wysokość trójkąta równobocznego – ściany czworościanu. Czyli AS=23h=23·a32=a33. Długość odcinka AG=a232. Wynika to z faktu, że trójkąt AEF jest trójkątem równobocznym o podstawie a2 (trójkąty ABCAEF są podobne o skali podobieństwa 2:1). Podstawiając otrzymujemy: AG·DSAS=a232·a63a33=a64. Zatem pole przekroju wynosi P=a2·a642=a2616.

Przykład 5

Czworościan foremny o krawędzi długości a został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego. Odległość płaszczyzny przecięcia od tej równoległej do niej krawędzi wynosi d. W wyniku przecięcia otrzymano trapez równoramienny. Wyznaczymy pole powierzchni uzyskanego trapezu.

Rozwiązanie:

R16kCjJvFYnP5

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole szukanego trapezu EFGH wyraża się wzorem P=HG+EF2·JK. Niech x oznacza długość odcinka BLCM. Z trójkąta BLH, mamy tg60°=dx. Stąd x=d3. Zatem HG=a-2x=a-2d3=a-233d. Z podobieństwa trójkątów ISDIJK (trójkąty prostokątne o wspólnym kącie ostrym, ale też możemy skorzystać z twierdzenia Talesa) mamy zależność: JKd=SDSI. Ponieważ SD jest wysokością czworościanu H, a długość odcinka SI=13h, to JKd=H13h. Stąd JK=d·3Hh=d·3a63a32=22d. Wyznaczyliśmy wysokość trapezu. Zachodzi również zależność IKJK=hH. Zatem IK=JK·hH=22d·a32a63=3d. Wykorzystamy tę równość do obliczenia długości drugiej podstawy trapezu. Niech y oznacza długość odcinka BNCO. Długość odcinka EN jest równa długości IK. Z trójkąta BNE mamy tg60°=ENy. Stąd y=EN3. Krótsza podstawa trapezu EF=a-2y=a-2EN3=a-23d3=a-23d. Podstawiając do wzoru na pole trapezu:

P=HG+EF2·JK=a-233d+a-23d2·22d=2a-833d2·22d=22a-433d·d

Słownik

czworościan foremny
czworościan foremny

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami

krawędzie skośne czworościanu foremnego
krawędzie skośne czworościanu foremnego

krawędzie, które zawierają się w prostych nie leżących w jednej płaszczyźnie

Re639ZChmCzUo