Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym $2\sqrt{2} {\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy długość krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie:

RAAMJS3bgBUGs

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono przekrój trójkątny o wierzchołkach C D F, przy czym punkt F jest spodkiem wysokości podstawy A BC opuszczonej z wierzchołka C na bok AB. Bok CF przechodzi przez punkt E będący spodkiem wysokości wielkie H czworościanu, którą opuszczono z wierzchołka D. Odcinki CF i DF podpisano literami małe h.

Oznaczmy literami:

$a$ – krawędź czworościanu foremnego,

$H$ – jego wysokość,

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - wysokość trójkąta równobocznego, będącego ścianą czworościanu.

Punkt $E$ jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego $ABC$. Wiemy, że dzieli on wysokość trójkąta na odcinki w stosunku $\left|CE\right|:\left|EF\right|=2:1$. Stąd długość odcinka $EF$ jest równa $\frac{1}{3}h$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy ${\left(\frac{1}{3}h\right)}^2+H^2=h^2$. Stąd $H^2=\frac{8}{9}{h}^2$, czyli wysokość czworościanu foremnego:

$H=\frac{2\sqrt{2}}{3}h=\frac{2\sqrt{2}}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Pole powierzchni przekroju czworościanu – trójkąta $CDF$ wynosi $2\sqrt{2} {\mathrm{cm}}^2$. Podstawiając do wzoru na pole trójkąta $P_{CDF}=\frac{h·H}{2}=2\sqrt{2}$, gdzie $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ i $H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Stąd $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}·\frac{a\sqrt{6}}{3}}{2}=2\sqrt{2}$ i dalej $\frac{a^2\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}$, czyli $a^2=8$. Długość krawędzi podstawy czworościanu $a=2\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Czworościan foremny został przecięty płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt równoramienny. Wyznaczymy miary kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie:

RwQQc2uBovsNr

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono przekrój trójkątny o wierzchołkach C D F, przy czym punkt F jest spodkiem wysokości podstawy A BC opuszczonej z wierzchołka C na bok AB. Bok CF przechodzi przez punkt E będący spodkiem wysokości wielkie H czworościanu, którą opuszczono z wierzchołka D. Odcinki CF i DF podpisano literami małe h.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech $\alpha =\sphericalangle CFD$, a $\beta =\sphericalangle FDC=\sphericalangle DCF$. Zauważmy, że $\sin \alpha =\frac{H}{h}$. Korzystając z zależności $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ i $H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, otrzymujemy: $\sin \alpha =\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Z tablic odczytujemy $\alpha \approx 70°$. Kąt $\alpha$ to kąt między ścianami czworościanu foremnego. Trójkąt $CFD$ jest równoramienny, zatem kąt $\beta$, kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi $\beta =\frac{180°-\alpha }{2}\approx 55°$.

Czworościan foremny $ABCD$ został przecięty płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy $AB$ i przecinającą krawędź do niej skośną $DC$ w punkcie $E$ tak, że $\left|DE\right|:\left|EC\right|=2:1$. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.

Rozwiązanie:

RSPULKhU5xDQS

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono przekrój trójkątny o wierzchołkach A B E, przy czym punkt E leży na krawędzi CD. Z wierzchołka E na bok AB opuszczono wysokość y, spodek tej wysokości podpisano literą F. Boki AE i BE mają długość x.

R1MlWYfEQeHcS

Ilustracja przedstawia trójkąt B C D, na boku CD leży punkt E. Odcinek BE ma długość x. Boki BC i BD mają długość a. Odcinek CE ma długość $\frac{a}{3}$. Kąt DCB ma wartość 60 stopni.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Długość odcinka $BE$ oznaczmy przez $x$, zaś długość wysokości trójkąta równoramiennego $ABE$ przez $y$. Z warunków przykładu wynika, że $\left|EC\right|=\frac{1}{3}a$. Zatem korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $BCE$ mamy $x^2=a^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2-2a\cdot \frac{a}{3}\cdot \cos {60}^{\circ }=a^2+\frac{a^2}{9}-\frac{2}{3}{a}^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{10a^2}{9}-\frac{3a^2}{9}=\frac{7}{9}{a}^2$. Wyliczymy wysokość $y$ trójkąta równoramiennego $ABE$ z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $BFE$: $x^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+y^2$. Stąd $y^2=x^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{7}{9}{a}^2-\frac{a^2}{4}=\frac{19}{36}{a}^2$. Pierwiastkując otrzymujemy $y=\frac{\sqrt{19}}{6}a$. Zatem pole przekroju $ABE$ wynosi $P=\frac{a·y}{2}=\frac{a·\frac{\sqrt{19}}{6}a}{2}=\frac{a^2\sqrt{19}}{12}$.

Czworościan foremny o krawędzi długości $a$ został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy. Obliczymy pole uzyskanego przekroju.

Rozwiązanie:

RObOXAdtbOXqL

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. Krawędzie czworościanu mają długość a. W czworościanie zaznaczono jego wysokość opuszczoną z wierzchołka D, jej spodek podpisano literą S. Z wierzchołka A na krawędź BC również opuszczono wysokość, przechodzi ona przez punkt S. W czworościanie zaznaczono jego przekrój, ma on kształt trójkąta o wierzchołkach E F H, przy czym punkt E leży na krawędzi AB, punkt F na krawędzi AC, a punkt H na krawędzi AD. Z wierzchołka H na bok EF opuszczono wysokość x, jej spodek G leży na odcinku AS. Odcinek AE ma długość $\frac{a}{2}$.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Niech $x$ oznacza długość odcinka $GH$, czyli długość wysokości trójkąta $EFH$, jaki uzyskujemy w tym przekroju. Trójkąty prostokątne $ASD$ i $AGH$ są podobne, mają ten sam kąt $GAH$. Stąd otrzymujemy zależność: $\frac{\left|DS\right|}{\left|AS\right|}=\frac{x}{\left|AG\right|}$. Ponieważ $DS$ jest wysokością czworościanu, więc $\left|DS\right|=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Długość odcinka $\left|AS\right|=\frac{2}{3}h$, gdzie $h$ wysokość trójkąta równobocznego – ściany czworościanu. Czyli $\left|AS\right|=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Długość odcinka $\left|AG\right|=\frac{\frac{a}{2}\sqrt{3}}{2}$. Wynika to z faktu, że trójkąt $AEF$ jest trójkątem równobocznym o podstawie $\frac{a}{2}$ (trójkąty $ABC$ i $AEF$ są podobne o skali podobieństwa $2:1$). Podstawiając otrzymujemy: $\frac{\left|AG\right|·\left|DS\right|}{\left|AS\right|}=\frac{\frac{\frac{a}{2}\sqrt{3}}{2}·\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$. Zatem pole przekroju wynosi $P=\frac{\frac{a}{2}·\frac{a\sqrt{6}}{4}}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{16}$.

Czworościan foremny o krawędzi długości $a$ został przecięty płaszczyzną prostopadłą do podstawy i równoległą do krawędzi podstawy, z którą płaszczyzna nie ma punktu wspólnego. Odległość płaszczyzny przecięcia od tej równoległej do niej krawędzi wynosi $d$. W wyniku przecięcia otrzymano trapez równoramienny. Wyznaczymy pole powierzchni uzyskanego trapezu.

Rozwiązanie:

R16kCjJvFYnP5

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o wierzchołkach A B C D, który ustawiono w taki sposób, że ściana A B C jest podstawą a wierzchołek D wierzchołkiem górnym. W czworościanie zaznaczono jego wysokość, spodek tej wysokości podpisano litrą S. W podstawie A B C, również zaznaczono wysokość, opuszczoną z wierzchołka A na bok BC. Spodek tej wysokości podpisano literą I, a wysokość ta przechodzi przechodzi przez punkt S. Z wierzchołka D na krawędź BC również opuszczono wysokość, jej spodek pokrywa się ze spodkiem I. W czworościanie zaznaczono przekrój o kształcie trapezu, jego wierzchołki to E F G H, przy czym punkt E leży na krawędzi DB, punkt F na krawędzi DC, punkt H na krawędzi AB, a punkt G na krawędzi AC. Na boku EF leży punkt K, leży on jednocześnie na wysokości DI. Z punktu K pod kątem prostym do wysokości AI poprowadzono odcinek do punktu J leżącego na krawędzi AI. Odcinek IJ podpisano literą d. W podstawie zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy z nich to B H L, przy czym punkt L leży na boku BC, a kąt BLH to kąt prosty. Drugi to trójkąt C G M, przy czym M leży na boku BC, a kąt CMG to kat prosty. Odcinek MC podpisano literą x. Obok czworościanu znajduje się jego trójkąt B C D, Z wierzchołka D opuszczono wysokość na bok BC, jej spodek podpisano literą I. Na boku BD leży punkt E, na boku CD leży punkt F, w trójkącie zaznaczono dwa mniejsze trójkąty prostokątne BEN, gdzie kąt BNE to kąt prosty oraz trójkąt CFO, gdzie kąt COF to kąt prosty. Na przecięciu wysokości o odcinka EF leży punkt K.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole szukanego trapezu $EFGH$ wyraża się wzorem $P=\frac{\left|HG\right|+\left|EF\right|}{2}·\left|JK\right|$. Niech $x$ oznacza długość odcinka $BL$ i $CM$. Z trójkąta $BLH$, mamy $\mathrm{tg}60°=\frac{d}{x}$. Stąd $x=\frac{d}{\sqrt{3}}$. Zatem $\left|HG\right|=a-2x=a-\frac{2d}{\sqrt{3}}=a-\frac{2\sqrt{3}}{3}d$. Z podobieństwa trójkątów $ISD$ i $IJK$ (trójkąty prostokątne o wspólnym kącie ostrym, ale też możemy skorzystać z twierdzenia Talesa) mamy zależność: $\frac{\left|JK\right|}{d}=\frac{\left|SD\right|}{\left|SI\right|}$. Ponieważ $\left|SD\right|$ jest wysokością czworościanu $H$, a długość odcinka $\left|SI\right|=\frac{1}{3}h$, to $\frac{\left|JK\right|}{d}=\frac{H}{\frac{1}{3}h}$. Stąd $\left|JK\right|=d·\frac{3H}{h}=d·\frac{3\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{2}d$. Wyznaczyliśmy wysokość trapezu. Zachodzi również zależność $\frac{\left|IK\right|}{\left|JK\right|}=\frac{h}{H}$. Zatem $\left|IK\right|=\left|JK\right|·\frac{h}{H}=2\sqrt{2}d·\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}=3d$. Wykorzystamy tę równość do obliczenia długości drugiej podstawy trapezu. Niech $y$ oznacza długość odcinka $BN$ i $CO$. Długość odcinka $EN$ jest równa długości $IK$. Z trójkąta $BNE$ mamy $\mathrm{tg}60°=\frac{\left|EN\right|}{y}$. Stąd $y=\frac{\left|EN\right|}{\sqrt{3}}$. Krótsza podstawa trapezu $\left|EF\right|=a-2y=a-2\frac{\left|EN\right|}{\sqrt{3}}=a-2\frac{3d}{\sqrt{3}}=a-2\sqrt{3}d$. Podstawiając do wzoru na pole trapezu:

$P=\frac{\left|HG\right|+\left|EF\right|}{2}·\left|JK\right|=\frac{a-\frac{2\sqrt{3}}{3}d+a-2\sqrt{3}d}{2}·2\sqrt{2}d=\frac{2a-\frac{8\sqrt{3}}{3}d}{2}·2\sqrt{2}d=$$2\sqrt{2}\left(a-\frac{4\sqrt{3}}{3}d\right)·d$

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami

krawędzie, które zawierają się w prostych nie leżących w jednej płaszczyźnie

Re639ZChmCzUo

Ilustracja przedstawia sześcian, w który wpisano czworościan. Wierzchołki czworościanu pokrywają się z wierzchołkami sześcianu, a krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian bocznych sześcianu. Przekątne dolnej i górnej podstawy będące krawędziami czworościanu podpisano: para krawędzi skośnych.