Przeczytaj
Trójkąt prostokątny o kątach i jest połową trójkąta równobocznego.
Zauważmy, że przyprostokątna leżąca przy kącie jest połową przeciwprostokątnej.
Trójkąt prostokątny o kącie jest połową kwadratu.
Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny, czyli przyprostokątne są sobie równe.
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów , , przedstawia tabela:
Przekątna prostokąta ma długość i tworzy z dłuższym bokiem kąt o mierze . Obliczymy obwód prostokąta.
Aby obliczyć obwód prostokąta, należy wyznaczyć długości jego boków. Przekątna „dzieli” prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Możemy zastosować więc funkcje trygonometryczne.
Bok wyznaczymy z funkcji cosinus:
i , czyli , zatem , więc .
Bok wyznaczymy z funkcji sinus:
, , więc , .
Mogliśmy wyznaczyć ,wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej naprzeciw kąta jest połową długości przeciwprostokątnej, czyli .
Obwód prostokąta zapisujemy za pomocą wzoru: .
Podstawiając i , otrzymujemy .
Odp. Obwód prostokąta wynosi .
Obwód równoległobokurównoległoboku wynosi . Jeden bok jest razy krótszy od drugiego. Obliczymy pole tego równoległoboku, jeżeli kąt ostry ma miarę .
Oznaczmy:
– wysokość równoległoboku,
, – boki równoległoboku,
– obwód równoległoboku.
Z treści zadania wynika, że: i .
Ze wzoru na obwód równoległoboku mamy , a ponieważ , to , stąd , a ponieważ , to .
Aby wyliczyć pole równoległoboku, musimy wyznaczyć jego wysokość . Wysokość jest prostopadła do boku , możemy więc skorzystać z funkcji sinus.
i , więc , stąd , podstawiając , otrzymujemy .
Obliczamy pole równoległoboku: .
Odp. Pole równoległoboku wynosi .
Obliczymy obwód prostokąta, którego przekątne przecinają się pod kątem , a jeden z boków jest równy . Rozważymy dwa przypadki.
Przypadek 1 ():
Z rysunku wynika, że: , , więc .
Zauważmy, że: , i kąt ma miarę . Trójkąt jest prostokątny, więc korzystając z funkcji tangens wyliczmy długość boku :
, a ponieważ i , więc , i , stąd
.
Ze wzoru na obwód prostokąta: otrzymujemy
.
Odp. Obwód prostokąta wynosi .
Przypadek 2 ():
Z rysunku wynika, że: , , więc .
Zauważmy, że: , i kąt ma miarę . Trójkąt jest prostokątny, więc korzystając z funkcji tangens wyliczymy długość boku :
, i , więc , , a ponieważ , to otrzymujemy .
Ze wzoru na obwód prostokąta obliczamy
.
Odp. Obwód prostokąta wynosi .
Obliczmy pole trapezutrapezu równoramiennego, którego dłuższa podstawa ma długość , a ramię o długości tworzy z podstawą kąt .
Przyjmując oznaczenia jak na rysunku, możemy zapisać , a ponieważ , to .
Do wyznaczenia pola trapezu wykorzystamy wzór .
Wyznaczmy wysokość trapezuwysokość trapezu , korzystając z funkcji sinus: i , czyli , , więc .
Aby wyznaczyć długość krótszej podstawy, musimy obliczyć długość odcinka . W tym celu, zapisując i podstawiając , otrzymujemy , , więc .
Mogliśmy wyznaczyć, wykorzystując fakt, że przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym są równe, więc .
Przejdźmy teraz do wyliczenia krótszej podstawy trapezu.
Z równania wyznaczamy i podstawiając , otrzymujemy
.
Wyliczone wartości i podstawiamy do wzoru na pole trapezu .
Odp. Pole trapezu wynosi .
Dłuższa podstawa trapezu ma długość a ramię jest razy krótsze od tej podstawy. Przekątne tego trapezu przecinają się pod kątem . Obliczymy długość drugiej podstawy tego trapezu.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Skoro , to , zatem .
W trójkącie : , więc: , stąd: .
W trójkącie : , stąd: .
Skorzystamy z tw. Pitagorasa w trójkącie :
.
Zatem: .
Dłuższe ramię trapezu ma długość i jest nachylone do dłuższej podstawy pod kątem . Wyznaczymy miarę kąta nachylenia drugiego ramienia do dłuższej podstawy, jeśli pole trapezu wynosi , a długości podstaw są w stosunku .
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Obliczymy długość boku . W trójkącie : , stąd: .
Podobnie:
, zatem: .
Z treści zadania .
Zauważmy, że: , stąd: , czyli: .
Skorzystamy z pola trapezu:
Zatem: .
W trójkącie : , stąd: i w konsekwencji .
Słownik
czworokąt, w którym przynajmniej jedna para boków jest do siebie równoległa
czworokąt, w którym przynajmniej jedna para boków jest do siebie równoległa; boki równoległe nazywamy podstawami trapezu
odległość między podstawami trapezu