Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Rozwiązaniem układu równań, z których jedno jest równaniem liniowym, a drugie jest równaniem stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi, jest każda para liczb spełniająca jednocześnie  oba równania  układu .

Taki układ równań  może nie mieć rozwiązania lub może  mieć rozwiązania   (np. dwa).

Wykresem funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b$ jest prosta o równaniu $y=ax+b$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2$ jest krzywa o równaniu $y=a{x}^2$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$. Krzywą tę nazywamy parabolą.

Na rysunku przedstawione są wykresy równań

$y=2x^2-3x-1$ oraz $y=x-1$.

R70RkVX3sucpC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus trzy do cztery oraz z poziomą osią od minus 5 do pięć. Zaznaczono na nim wykresy funkcji. Równanie funkcji kwadratowej $y=2x^2-3x-1$ paraboli z ramionami skierowanymi w górę, wierzchołek paraboli leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Równanie funkcji liniowej $y=x-1$ prosta skośna rosnąca. przecinająca parabolę w dwóch punktach . Wykresy mają dwa punkty wspólne. Punkt A o współrzędnych $\left(0;-1\right)$ oraz punkt B o współrzędnych $\left(2;1\right)$.

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach $A$ i $B$. Z rysunku możemy odczytać ich współrzędne: $\left(2, 1\right)$ oraz $\left(0, -1\right)$.

Współrzędne punktów przecięcia się wykresów równań, są rozwiązaniami układu utworzonego przez te równania.

A zatem rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=2x^2-3x-1\\ y=x-1\end{array}\right.$ są dwie pary liczb $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{9}{x}^2+x+3\\ y=\frac{1}{3}x+2\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=\frac{1}{9}{x}^2+x+3$ oraz $y=\frac{1}{3}x+2$.

Rvcvmi1huI13F

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus jeden do pięć oraz z poziomą osią od minus siedem do trzech. Zaznaczono na nim wykresy funkcji. Równanie funkcji kwadratowej $y=\frac{1}{9}{x}^2+x+3$ będącej parabolą z ramionami skierowanymi w górę, wierzchołek paraboli znajduję się w drugiej ćwiartce układu, parabola przecina oś Y w punkcie $\left(0;3\right)$ oraz równanie funkcji liniowej $y=\frac{1}{3}x+2$, w postaci skośnej rosnącej, która ma miejsce zerowe w punkcie o współrzędnych $\left(-6;0\right)$. Oba wykresy mają punkt wspólny P o współrzędnych $\left(-3;1\right)$.

Prosta i parabola mają dokładnie jeden wspólny punkt $P=\left(-\mathrm{3,} 1\right)$.

Stąd układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{9}{x}^2+x+3\\ y=\frac{1}{3}x+2\end{array}\right.$ ma dokładnie jedno rozwiązanie $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=1\end{array}\right.$.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+y=-3\\ y+4x=1\end{array}\right.$.

Przekształcamy każde z równań, tak aby wyznaczyć w nim zmienną $y$.

$\left\{\begin{array}{l}y=-x^2-4x-3\\ y=-4x+1\end{array}\right.$

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=-x^2-4x-3$ oraz $y=-4x+1$.

RJ0N7ojvIKf2v

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus cztery do trzy oraz z poziomą osią od minus pięć do pięć. Zaznaczono na nim wykresy funkcji. Równanie funkcji kwadratowej $y=-x^2-4x-3$ parabola z ramionami skierowanymi do dołu, która ma miejsca zerowe wynoszące minus 3 i minus jeden. Oraz równanie prostej $y=-4x+1$ w postaci skośnej malejącej. Równania nie mają punktu wspólnego.

Wykresy nie posiadają punktów wspólnych. Zatem układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=-x^2-4x-3\\ y=-4x+1\end{array}\right.$ jest sprzeczny.

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+3x+4\\ y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}\end{array}\right.$.

Rysujemy w układzie współrzędnych wykresy funkcji $y=-x^2+3x+4$ oraz $y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}$.

R1PxYlzMB2sUv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 8 do sześć oraz poziomą od minus 7 do sześć. Zaznaczano na nim wykresy funkcji. Równanie funkcji kwadratowej $y=-x^2+3x+4$ w postaci paraboli skierowanej ramionami do dołu, wierzchołek paraboli znajduję się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych oraz równanie funkcji liniowej $y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}$ w postaci krzywej w kształcie litery V. Obie funkcje mają punkty wspólne w miejscach przecięcia z osia X o współrzędnych $\left(-1;0\right)$ oraz $\left(4;0\right)$.

Wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych $\left(-1, 0\right)$ oraz $\left(4, 0\right)$, a zatem układ równańukład równańukład równań $\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+3x+4\\ y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}\end{array}\right.$ ma dwa rozwiązania postaci $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=0\end{array}\right.$.

Poprawność rozwiązań możemy sprawdzić algebraicznie.

Możemy podstawić odczytane wartości do równań i sprawdzić równość stron.

Dla pary liczb $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right.$ mamy:

• $y=-x^2+3x+4$

  $P=-x^2+3x+4=-{\left(-1\right)}^2+3·\left(-1\right)+4=0=L$

• $y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}$

  $P=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}=3\cdot \left|\left(-1\right)-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}=3\cdot \left|-2\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}=0=L$

Dla pary liczb $\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=0\end{array}\right.$ mamy:

• $y=-x^2+3x+4$

  $P=-x^2+3x+4=-4^2+3·4+4=0=L$

• $y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}$

  $P=3·\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}=3·\left|4-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}=3·\left|2\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}=0=L$

A zatem pary liczb postaci $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=0\end{array}\right.$ są rozwiązaniami układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+3x+4\\ y=3\left|x-1\frac{1}{2}\right|-7\frac{1}{2}\end{array}\right.$.

Określimy liczbę rozwiązań układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+2x+m\\ y=3x+1\end{array}\right.$, w zależności od parametru $m$.

1. Wiemy, że punkt wspólny wykresów należy jednocześnie do paraboli i prostej.

Spełniony jest zatem warunek

$-x^2+2x+m=3x+1$

Znajdziemy $m$, dla którego istnieje dokładnie jeden taki punkt. Taka sytuacja ma miejsce wtedy, gdy wyróżnik trójmianu

$-x^2-x+m-1=0$

jest równy zero.

$∆=1-4·\left(-1\right)·\left(m-1\right)$

$1+4\left(m-1\right)=0$

$1+4m-4=0$

$m=\frac{3}{4}$

A zatem prosta $y=3x+1$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą

$y=-x^2+2x+m$ dla $m=\frac{3}{4}$.

Naszkicujemy te wykresy.

RtlbOJi75Qt6s

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 2 do czterech oraz poziomą osią od minus 5 do pięć. Zaznaczono na nim wykresy funkcji. Równanie funkcji kwadratowej $y=-x^2+2x+\frac{3}{4}$ w postaci paraboli skierowanej ramionami do dołu, wierzchołek paraboli znajduję się w pierwszej ćwiartce oraz równanie prostej $y=3x+1$ w postaci skośnej rosnącej. Parabola i prosta są do siebie styczne w punkcie o współrzędnych $\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$

2. Z własności funkcji kwadratowej wiemy, że parabolaparabolaparabola $y=-x^2+2x+m$ przecina oś $Y$ w punkcie $\left(0, m\right)$.

A zatem dla $m>\frac{3}{4}$ parabola przesunie się w górę wzdłuż osi $Y$, a dla $m<\frac{3}{4}$ przesunie się w dół wzdłuż osi $Y$.

Przeanalizujmy kilka przykładów:

• dla $m=-2$

  RE57q7DlFvCN2

  Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 4 do 4 oraz poziomą osią od minus 5 do pięć. Zaznaczono na nim wykresy funkcji. Funkcja kwadratowa o wzorze $y=-x^2+2x-2$ parabola ma ramiona skierowane w dół, wierzchołek paraboli znajduję się w punkcie $\left(1;-1\right)$ oraz funkcję liniową w postaci prostej przecinającą oś Y w punkcie jeden o wzorze $y=3x+1$. Wykresy nie posiadają punktów wspólnych.

  

• dla $m=-1$

  R7HbPdoT42UYM

  Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 3 do 4 oraz poziomą osią od minus 5 do pięć. Zaznaczono na nim wykresy funkcji. Funkcja kwadratowa o wzorze $y=-x^2+2x-2$ parabola ma ramiona skierowane w dół, wierzchołek paraboli znajduję się w punkcie $\left(1;0\right)$oraz funkcję liniową w postaci prostej przecinającą oś Y w punkcie jeden o wzorze $y=3x+1$. Wykresy nie posiadają punktów wspólnych.

  

• dla $m=2$

  RzAnY02Q5BMOY

  Ilustracja przedstawia układ równań z poziomą osią od minus 4 do 6 oraz pionową od minus 4 do cztery. Zaznaczono na nim funkcję kwadratową o wzorze $y=-x^2+2x+2$ parabola posiada ramiona skierowane w dół oraz wierzchołek w punkcie $\left(1;3\right)$ oraz funkcję liniową w postaci skośnej przecinającej parabolę w dwóch punktach. Pierwszym o współrzędnych $\left(0,62;2,85\right)$ oraz drugim o współrzędnych $\left(-1,62;-3,85\right)$

  

• dla $m=3$

  R1CKBIh55hc6n

  Ilustracja przedstawia układ równań z poziomą osią od minus 5 do 5 oraz pionową od minus 5 do pięć. Zaznaczono na nim funkcję kwadratową o wzorze $y=-x^2+2x+3$ parabola posiada ramiona skierowane w dół oraz wierzchołek w punkcie $\left(1;4\right)$ oraz funkcję liniową w postaci skośnej przecinającej parabolę w dwóch punktach. Pierwszym A o współrzędnych $\left(-2;-5\right)$ oraz drugim B o współrzędnych $\left(1;4\right)$

  

3. Zatem dla $m<\frac{3}{4}$ prosta $y=3x+1$ nie będzie miała punktu wspólnego z parabolą $y=-x^2+2x+m$ (rozpatrywany układ równań nie ma rozwiązania), a dla $m>\frac{3}{4}$ prosta ma dwa punkty wspólne z parabolą (układ równań ma dwa rozwiązania).

koniunkcja co najmniej dwóch równań

wykres funkcji kwadratowej