Przeczytaj
Funkcja liczbowa jest funkcją rosnącą w zbiorze , , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , , należących do zbioru , z nierówności wynika nierówność
Funkcję, która jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, nazywamy funkcją rosnącą.
Definicję funkcji rosnącej możemy również zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest funkcją rosnącą w zbiorze ,
Zwrot „dla każdego ” nazywa się kwantyfikatorem ogólnym, kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym wiążącym zmienną . Kwantyfikator ogólny oznaczamy symbolem .
Funkcja liczbowa jest funkcją malejącą w zbiorze , , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , , należących do zbioru , z nierówności wynika nierówność
Funkcję, która jest malejąca w całej swojej dziedzinie, nazywamy funkcją malejącą.
Definicję funkcji malejącej możemy również zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest funkcją malejącą w zbiorze ,
Zwrot „dla każdego ” nazywa się kwantyfikatorem ogólnym, kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym wiążącym zmienną . Kwantyfikator ogólny oznaczamy symbolem .
Funkcja liczbowa jest funkcją stałą w zbiorze , , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , , należących do zbioru , z nierówności wynika równość
Funkcję, która jest stała w całej dziedzinie, nazywamy funkcją stałą.
Definicję funkcji stałej możemy również zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest stała w zbiorze ,
Funkcja liczbowa jest funkcją nierosnącą w zbiorze , , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , , należących do zbioru , z nierówności wynika nierówność
Definicję funkcji nierosnącej możemy również zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest funkcją nierosnącą w zbiorze ,
Funkcja liczbowa jest funkcją niemalejącą w zbiorze , , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów , , należących do zbioru , z nierówności wynika nierówność
Definicję funkcji niemalejącej możemy również zapisać krócej.
Funkcja liczbowa jest funkcją niemalejącą w zbiorze ,
Analizując definicje funkcji nierosnącej i niemalejącej, możemy zauważyć, że:
każda funkcja rosnąca jest jednocześnie funkcją niemalejącą,
każda funkcja malejąca jest jednocześnie funkcją nierosnącą,
każda funkcja stałafunkcja stała jest jednocześnie funkcją nierosnącą i niemalejącą.
Funkcje rosnące, malejące, stałe, nierosnące i niemalejące nazywamy funkcjami monotonicznymi.
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
, gdy .
Wykażemy, że funkcja jest malejąca w przedziale i rosnąca w przedziale .
Rozwiązanie:
Założenie:
, , oraz .
Teza:
.
Dowód:
Obliczymy różnicę wartości funkcji dla argumentów i .
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów .
Opuszczamy nawiasy zwykłe.
Redukujemy wyrazy podobne.
Określimy znak otrzymanego iloczynu:
– z założenia wiemy, że
– z założenia wiemy, że i , zatem .
Stąd .
Dla dowolnych liczb , należących do przedziału z nierówności wynika nierówność .
Stąd wniosek, że funkcja jest malejąca w przedziale .
Z definicji funkcji rosnącej wiemy, że:
funkcja liczbowa jest rosnąca w zbiorze
.
i i
Do obu stron nierówności dodajemy liczbę .
Obie strony nierówności podnosimy do kwadratu.
Znak nierówności nie ulega zmianie, ponieważ i .
Zatem prawdziwa jest implikacja
.
Stąd wniosek, że funkcja jest funkcją rosnącąfunkcją rosnącą w przedziale .
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru
, gdy .
Określimy monotoniczność funkcji .
Rozwiązanie:
i i i .
Określimy znak różnicy .
Rozpatrzymy wyrażenie
Możemy zauważyć, że
, bo i oraz ,
Różnicę możemy pomnożyć przez wyrażenie bez zmiany jej wartości.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i otrzymujemy:
Określimy znak otrzymanego wyrażenia:
czyli , stąd jako iloczyn dwóch liczb ujemnych.
, jako suma dwóch wyrażeń dodatnich.
Zatem .
Z warunku wynika nierówność .
To znaczy, ze funkcja , gdy jest funkcją malejącą.
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
Wykażemy, że funkcja jest rosnąca w przedziale oraz malejąca w przedziale .
Rozwiązanie:
Założenie:, , oraz .
Teza:.
Dowód:
Obliczymy różnicę wartości funkcji dla argumentów i .
Określimy znak otrzymanego iloczynu:– z założenia wiemy, że ,
– iloczyn liczby dodatniej przez liczbę ujemną.
Zatem prawdziwa jest implikacja
Stąd wniosek, że funkcja jest funkcją rosnącą w przedziale .
Założenie:
, , oraz .
Teza:
.
Dowód:
Obliczymy różnicę wartości funkcji dla argumentów i oraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów .
Określimy znak otrzymanego iloczynu:– z założenia wiemy, że ,
– suma dwóch liczb dodatnich,
– iloczyn dwóch liczb ujemnych przez liczbę dodatnią.
Zatem .
Z warunku wynika nierówność .
Zatem prawdziwa jest implikacja
.
Stąd wniosek, że funkcja jest funkcją malejącąfunkcją malejącą w przedziale .
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
.
Określimy jej dziedzinę i wykażemy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Rozwiązanie:
Określimy dziedzinę funkcji .
Z własności logarytmu wiemy, że liczba logarytmowana musi być liczbą dodatnią, czyli:
Stąd
Wykażemy, że funkcja , gdy jest funkcją rosnącą.
Założenie: , , , ,
Teza:
Dowód:
Obliczymy różnicę wartości funkcji dla argumentów i .
Określimy znak otrzymanej różnicy.
Z własności logarytmu wiemy, że gdy podstawa logarytmu jest liczbą większą od jedności, to ten logarytm jest większy, którego liczba logarytmowana jest większa.
Z założenia wiemy, że:
, czyli
Zatem .
Prawdziwa jest implikacja
.
Stąd wniosek, że funkcja jest funkcją rosnąca w przedziale .
Funkcja opisana jest za pomocą wzoru.
, gdy .
Określimy jej monotoniczność.
Rozwiązanie:
Korzystając z własności pierwiastków arytmetycznych drugiego stopnia, możemy zapisać wzór funkcji w inny, równoważny sposób.
.
Określimy monotoniczność funkcji .
Wzór funkcji składa się z dwóch wyrażeń.
, , , ,
Określimy znak różnicy wartości funkcji dla argumentów i .
Wyznaczymy znak otrzymanego iloczynu:czyli ,
– iloczyn dwóch liczb ujemnych.
Stąd .
Zatem .
Z nierówności wynika nierówność .
Stąd wniosek, że funkcja jest malejąca w przedziale .
, , , ,
Określimy znak różnicy wartości funkcji dla argumentów i .
Wyznaczymy znak otrzymanego iloczynu:czyli ,
– iloczyn dwóch liczb o różnych znakach.
Stąd .
Zatem .
Z nierówności wynika nierówność .
Stąd wniosek, że funkcja jest rosnąca w przedziale .
Funkcja , gdy jest funkcją malejącą w przedziale oraz funkcją rosnącą w przedziale .
Funkcja jest rosnąca, jeżeli większemu argumentowi odpowiada większa wartość funkcji.
Funkcja jest malejąca, jeżeli większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji.
Funkcja jest stała, jeżeli każdemu argumentowi odpowiada taka sama wartość funkcji.
Słownik
funkcja jest rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości
funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości
funkcja jest stała, jeżeli dla wszystkich argumentów przyjmuje stałą, tę samą wartość