Sinusem kąta ostregosinus kąta ostregoSinusem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.

RMn4JpI4Mvtc0

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $x$, pionowej przyprostokątnej $y$ oraz o przeciwprostokątnej $z$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami $x$ i $y$ oraz kąt $\alpha$ między bokami $x$ i $z$.

Wyznaczymy $\sin \alpha$ w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku poniżej.

RKeKDTpoGXGtF

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie o długości $5$, pionowej przyprostokątnej o długości $3$ oraz o przeciwprostokątnej $c$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami o długościach $3$ i $5$ oraz kąt $\alpha$ między podstawą a przeciwprostokątną $c$.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $5^2+3^2=c^2$. Zatem długość przeciwprostokątnej jest równa $c=\sqrt{34}$.

Korzystając z definicji sinusasinus kąta ostregosinusa dostajemy:

Wyznaczymy wartość sinusasinus kąta ostregosinusa dla kąta $45°$.

Narysujmy kwadrat o boku $a$ i zaznaczmy jego przekątną.

ReS3R2u3sqdoo

Rysunek przedstawia kwadrat $ABCD$. Boki kwadratu mają długość $a$, natomiast jego przekątna ma długość $a\sqrt{2}$. Na rysunku oznaczono trójkąt równoramienny powstały w oparciu o boki kwadratu i jego przekątną. Trójkąt ma wierzchołki $ABC$. Obie przyprostokątne, czyli pozioma $AB$ oraz pionowa $BC$ mają długość $a$ i obie tworzą z przeciwkprostokątną (czyli z przekątną kwadratu) kąt o mierze czterdziestu pięciu stopni, co oznaczono na rysunku. Przy wierzchołku $B$ oznaczono trzeci kąt wewnętrzny trójkąta, czyli kąt prosty.

Z trójkąta $ABC$ obliczmy sinus dla kąta $45°$:

Na podstawie tablic trygonometrycznych odczytamy $\sin {25}^{\circ }$.

R1D6DhbSOoqbm

Tabela przedstawia wartości wybranych funkcji trygonometrycznych na kilku wartości kąta i składa się z pięciu kolumn i z sześciu wierszy, przy czym wiersz pierwszy jest wierszem nagłówkowym, w którym mamy od lewej: $\alpha , \sin \alpha , \cos \alpha , \mathrm{tg}\alpha , \mathrm{ctg}\alpha$. Wiersz drugi przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\alpha$ o mierze dwudziestu trzech stopni. Wartości te to: $\sin \alpha =0,3907, \cos \alpha =0,9205, \mathrm{tg}\alpha =0,4245, \mathrm{ctg}\alpha =2,3559$. Wiersz trzeci przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\alpha$ o mierze dwudziestu czterech stopni. Wartości te to: $\sin \alpha =0,4067, \cos \alpha =0,9135, \mathrm{tg}\alpha =0,4452, \mathrm{ctg}\alpha =2,2460$. Wiersz czwarty przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\alpha$ o mierze dwudziestu pięciu stopni. Wartości te to: $\sin \alpha =0,4226, \cos \alpha =0,9063, \mathrm{tg}\alpha =0,4663, \mathrm{ctg}\alpha =2,1445$. Wiersz piąty przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\alpha$ o mierze dwudziestu sześciu stopni. Wartości te to: $\sin \alpha =0,4384, \cos \alpha =0,8988, \mathrm{tg}\alpha =0,4877, \mathrm{ctg}\alpha =2,0503$. Wiersz szósty przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\alpha$ o mierze dwudziestu siedmiu stopni. Wartości te to: $\sin \alpha =0,4540, \cos \alpha =0,8910, \mathrm{tg}\alpha =0,5095, \mathrm{ctg}\alpha =1,9626$.

Zatem $\sin {25}^{\circ }=0,4226$.

Wyznaczymy przybliżoną wartość kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku poniżej.

Rmmntrl1BNinp

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o  pionowej przyprostokątnej o długości $6$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $8$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt $\alpha$ między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną.

Na podstawie danych z rysunku otrzymujemy:

Z tablic matematycznych odczytujemy przybliżoną wartość kąta:

Na podstawie rysunku wyznacz odległość $x$.

RxpNOkn5GH1T3

Zdjęcie przedstawia wysokie drzewo iglaste, na które naniesiono grafikę przedstawiającą trójkąt prostokątny o  pionowej przyprostokątnej o długości $6$ oraz o przeciwprostokątnej o długości $x$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między pionową a poziomą przyprostokątną oraz kąt o mierze sześćdziesięciu trzech stopni między podstawą trójkąta a jego przeciwprostokątną.

Korzystając z definicji sinusa dla kąta prostego, otrzymujemy

Przekształcając wzór dostajemy

w trójkącie prostokątnym jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej