Dla funkcji wykładniczej określonej wzorem $y=a^x$, gdy $a\in \left(0,1\right)$ zachodzą następujące własności:

• dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych,

• zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, tzn. $y\in \left(0,\infty \right)$,

• funkcja jest malejąca,

• funkcja jest różnowartościowa,

• funkcja nie ma miejsc zerowych,

• asymptotą wykresu funkcji jest prosta $y=0$,

• wykres funkcji zawsze przechodzi przez punkt o współrzędnych $\left(0,1\right)$,

• wykres funkcji znajduje się w $\text{I}$ i $\text{II}$ ćwiartce układu współrzędnych,

• funkcja przyjmuje wartości większe od $1$ dla argumentów mniejszych od $0$,

• funkcja przyjmuje wartości mniejsze od $1$ dla argumentów większych od $0$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^x$, jeżeli jej zbiorem wartości jest przedział $\left(2,4\right)$.

Rozwiązanie

Z uwagi na to, że funkcja jest  różnowartościowa i malejąca, do wyznaczenia dziedziny funkcji wystarczające jest obliczenie argumentów  odpowiadających wartościom  funkcji  na końcach tego przedziału.

Do wyznaczenia dziedziny funkcji rozwiązujemy równania:

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^x=2$, więc $x=-2$,

${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^x=4$, więc $x=-4$.

Dziedziną podanej funkcji jest przedział $\left(-4,-2\right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej  określonej wzorem $f\left(x\right)=a^x$. Wyznaczymy wzór tej funkcji, a następnie podamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od $3$.

RHKwZANKuELsn

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do sześciu oraz pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji znajdujący się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres biegnie od minus nieskończoności po łuku przez punkty $\left(-1;3\right)$ oraz $\left(0;1\right)$ następnie wypłaszcza się do osi X i biegnie do plus nieskończoności.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(-1,3\right)$.

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie $3=a^{-1}$.

Z równania otrzymujemy, że $a=\frac{1}{3}$.

Funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

Z wykresu funkcji odczytujemy, że $f\left(x\right)<3$ dla $x\in \left(-1,\infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^x$, jeżeli $x\in ⟨-1,2⟩$.

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja jest różnowartościowa i malejąca, więc wystarczy obliczyć wartości funkcji na końcach podanego przedziału.

Zatem mamy:

$f\left(-1\right)={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,

$f\left(2\right)={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$.

Zbiorem wartości podanej funkcji jest przedział $⟨\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{5}{4}⟩$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ funkcja wykładnicza  określona wzorem $f\left(x\right)={\left(m^2-3\right)}^x$ jest malejąca.

Rozwiązanie

Funkcja wykładnicza określona wzorem $f\left(x\right)=a^x$ jest malejąca, gdy $a\in \left(0,1\right)$.

Jeżeli $a\in \left(0,1\right)$, to zachodzą następujące nierówności:

$m^2-3>0$ oraz $m^2-3<1$.

Rozwiązaniem pierwszej nierówności jest zbiór $m\in \left(-\infty ,-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3},\infty \right)$, a drugiej nierówności zbiór $m\in \left(-2,2\right)$.

Wobec tego $m\in \left(-2,-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3},2\right)$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ punkt o współrzędnych $\left(2,6\right)$ należy do wykresu funkcji wykładniczej  określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(2m-2\right)}^x$.

Rozwiązanie

Dla każdej funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=a^x$ zachodzi warunek: $a>0$.

Wobec tego $2m-2>0$, czyli $m>1$.

Jeżeli punkt o współrzędnych $\left(2,6\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

${\left(2m-2\right)}^2=6$.

Równanie przekształcamy do postaci $2m-2=\sqrt{6}$ lub $2m-2=-\sqrt{6}$.

Zatem $m=\frac{\sqrt{6}+2}{2}$ lub $m=\frac{-\sqrt{6}+2}{2}$.

Z warunku, że $m>1$ otrzymujemy, że $m=\frac{\sqrt{6}+2}{2}$.

funkcja określona na zbiorze $\mathrm{ℝ}$ wzorem $f\left(x\right)=a^x$, gdzie podstawa potęgi jest ustaloną liczbą dodatnią $a$ i różną od $1$