Funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, gdy jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca.

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x-2$. Wykażemy, że wartością najmniejszą tej funkcji w przedziale $⟨-2,4⟩$ jest $\left(-3\right)$, a wartością największą $0$.

Rozwiązanie:

Udowodnimy najpierw, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Załóżmy, że $x_1$, $x_2\in D_f$ oraz $x_1<x_2$.

Wtedy $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\frac{1}{2}{x}_2-2-\left(\frac{1}{2}{x}_1-2\right)=\frac{1}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_1$.

Ponieważ $x_1<x_2$, zatem $\frac{1}{2}{x}_2-\frac{1}{2}{x}_1=\frac{1}{2}\left(x_2-x_1\right)>0$, czyli

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Stąd, wobec dowolności $x_1$, $x_2$ wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.

Zatem wartość najmniejsza funkcji $f$ jest przyjmowana dla argumentu $x=-2$.

Wobec tego $f\left(-2\right)=\frac{1}{2}·\left(-2\right)-2=-3$.

Zatem wartość największa funkcji $f$ jest przyjmowana dla argumentu $x=4$.

Wobec tego $f\left(4\right)=\frac{1}{2}·4-2=0$.

Wykażemy, że funkcja zadana wzorem $f\left(x\right)=ax+b$ dla $a<0$ i $b\in \mathrm{ℝ}$ jest malejąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_1$, $x_2\in D_f$ oraz $x_1<x_2$.

Wtedy $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=a{x}_2+b-\left(a{x}_1+b\right)=a{x}_2-a{x}_1$.

Ponieważ $x_1<x_2$, zatem $a{x}_2-a{x}_1=a\left(x_2-x_1\right)<0$, czyli

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd, wobec dowolności $x_1$, $x_2$ wnioskujemy, że funkcja jest malejąca.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$, która spełnia następujące warunki:

• $f$ jest rosnąca w przedziałach $⟨-4,-2⟩$ oraz $⟨2,5⟩$,

• $f$ jest malejąca w przedziale $⟨-2,2⟩$,

• $f$ jest stała w przedziale $⟨5,8⟩$.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji spełniającej podane warunki może przedstawiać się następująco:

R1BQheCHvSllC

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do ośmiu i pionową osią y od minus 2 do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o następującym kształcie: z punktu początek nawiasu, minus 4, 0, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony zamalowaną kropką, biegnie ukośna linia prosta do punktu początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, w punkcie tym znajduje się pierwszy wierzchołek. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu biegnie ukośna linia prosta, która w środku układu współrzędnych zmienia swój kąt nachylenia i biegnie do punktu początek nawiasu, 2, minus 2, zamknięcie nawiasu. W tym punkcie znajduje się drugi wierzchołek. Następnie wykres biegnie ukośną linią prostą do punktu początek nawiasu, 5, 1, zamknięcie nawiasu, z tego punktu do punktu początek nawiasu, 8, 1, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony zamalowaną kropką biegnie pozioma linia prosta. Wykres jest podpisany literą f.

Zauważmy, że istnieje nieskończenie wiele różnych wykresów funkcji, które spełniają podane warunki.

Sprawdzimy, czy funkcja określona wzorem $f\left(x\right)=x^2$ jest monotonicznamonotoniczność funkcjimonotoniczna w całej swojej dziedzinie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że dziedziną funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=x^2$ jest zbiór liczb $\mathrm{ℝ}$.

Weźmy trzy dowolne argumenty, które należą do dziedziny tej funkcji.

Wtedy:

$f\left(-3\right)=9$

$f\left(0\right)=0$

$f\left(2\right)=4$

Ponieważ $-3<0<2$ oraz $f\left(-3\right)>f\left(0\right)$ i $f\left(0\right)<f\left(2\right)$, zatem funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest przedziałami montoniczna.

Naszkicujemy wykres dowolnej funkcji, która jest przedziałami rosnąca, ale nie jest monotoniczna.

Rozwiązanie:

RGChEhoTofz9p

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o kształcie hiperboli. Poziomą asymptotą wykresu jest oś y, natomiast pionowa asymptota jest prostą o równaniu $x=2$. Wykres jest podpisany $y=-\frac{1}{x-2}$.

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest rosnąca w przedziałach $\left(-\infty ,2\right.⟩$ oraz $\left.⟨2,\infty \right)$.

Określimy monotoniczność funkcji, jeżeli wykres jej pochodnej przedstawiono na poniższym rysunku.

R1CyPG15H81iE

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres o następującym kształcie: początek wykresu znajduje się w punkcie oznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 1, minus 4, zamknięcie nawiasu, z tego punktu do punktu początek nawiasu, 1, 2, zamknięcie nawiasu biegnie ukośna linia prosta, która przechodzi przez środek układu współrzędnych. Z tego punktu do punktu początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu biegnie pozioma linia prosta równoległa do osi x, następnie biegnie ona ukośną linią prostą do punktu początek nawiasu, 5, 0, zamknięcie nawiasu, który jest zaznaczony zamalowaną kropką. Wykres jest podpisany $f^{\text{'}}$.

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że:

• $f\text{'}\left(x\right)<0$ dla $x\in \left.⟨-2,0\right)$, zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $⟨-2,0⟩$

• $f\text{'}\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(0,5\right)$, zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $x\in ⟨0,5⟩$.

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów

miara, określająca szybkość zmian wartości funkcji względem zmiany argumentów