Przypomnijmy definicję monotoniczności funkcji.

Monotoniczność funkcji
Definicja: Monotoniczność funkcji

Funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, gdy jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca.

W poniższych przykładach pokażemy, że monotoniczność funkcji ma duże znaczenie w badaniu własności funkcji, czy szkicowaniu wykresów o zadanych własnościach.

Jeżeli funkcja f jest ciągła i malejąca w przedziale a,b, to:

  • wartość największa tej funkcji w przedziale a,b wynosi fa, a wartość najmniejsza fb.

Jeżeli funkcja f jest ciągła i rosnąca w przedziale a,b, to:

  • wartość najmniejsza tej funkcji w przedziale a,b wynosi fa, a wartość największa fb.

Przykład 1

Dana jest funkcja f określona wzorem fx=12x-2. Wykażemy, że wartością najmniejszą tej funkcji w przedziale -2,4 jest -3, a wartością największą 0.

Rozwiązanie:

Udowodnimy najpierw, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Załóżmy, że x1, x2Df oraz x1<x2.

Wtedy fx2-fx1=12x2-2-12x1-2=12x2-12x1.

Ponieważ x1<x2, zatem 12x2-12x1=12x2-x1>0, czyli

fx1<fx2.

Stąd, wobec dowolności x1, x2 wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.

Zatem wartość najmniejsza funkcji f jest przyjmowana dla argumentu x=-2.

Wobec tego f-2=12·-2-2=-3.

Zatem wartość największa funkcji f jest przyjmowana dla argumentu x=4.

Wobec tego f4=12·4-2=0.

Przykład 2

Wykażemy, że funkcja zadana wzorem fx=ax+b dla a<0b jest malejąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że x1, x2Df oraz x1<x2.

Wtedy fx2-fx1=ax2+b-ax1+b=ax2-ax1.

Ponieważ x1<x2, zatem ax2-ax1=ax2-x1<0, czyli

fx1>fx2.

Stąd, wobec dowolności x1, x2 wnioskujemy, że funkcja jest malejąca.

Przykład 3

Naszkicujemy wykres funkcji f, która spełnia następujące warunki:

  • f jest rosnąca w przedziałach -4,-2 oraz 2,5,

  • f jest malejąca w przedziale -2,2,

  • f jest stała w przedziale 5,8.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji spełniającej podane warunki może przedstawiać się następująco:

R1BQheCHvSllC

Zauważmy, że istnieje nieskończenie wiele różnych wykresów funkcji, które spełniają podane warunki.

Ważne!

Odbicie wykresu funkcji f względem osi Y układu współrzędnych lub jego przesunięcie wzdłuż osi X może zmienić przedziały monotoniczności funkcji f.

Przykład 4

Sprawdzimy, czy funkcja określona wzorem fx=x2 jest monotonicznamonotoniczność funkcjimonotoniczna w całej swojej dziedzinie.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że dziedziną funkcji określonej wzorem fx=x2 jest zbiór liczb .

Weźmy trzy dowolne argumenty, które należą do dziedziny tej funkcji.

Wtedy:

f-3=9

f0=0

f2=4

Ponieważ -3<0<2 oraz f-3>f0f0<f2, zatem funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest przedziałami montoniczna.

Przykład 5

Naszkicujemy wykres dowolnej funkcji, która jest przedziałami rosnąca, ale nie jest monotoniczna.

Rozwiązanie:

RGChEhoTofz9p

Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest rosnąca w przedziałach -,2 oraz 2,.

Ciekawostka

Jeżeli pochodna funkcjipochodna funkcjipochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca. Jeżeli pochodna funkcji w pewnym przedziale jest ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Przykład 6

Określimy monotoniczność funkcji, jeżeli wykres jej pochodnej przedstawiono na poniższym rysunku.

R1CyPG15H81iE

Rozwiązanie:

Z wykresu odczytujemy, że:

  • f'x<0 dla x-2,0, zatem funkcja f jest malejąca w przedziale -2,0

  • f'x>0 dla x0,5, zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale x0,5.

Słownik

monotoniczność funkcji
monotoniczność funkcji

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów

pochodna funkcji
pochodna funkcji

miara, określająca szybkość zmian wartości funkcji względem zmiany argumentów