Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi warunek $W\left(a\right)=0$.

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu $W\left(x\right)$.

Rozwiążemy równanie wielomianowe $\left|x^3-1\right|=7$.

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej.

Dla $a>0$:

$\left|x\right|=a\iff x=a$ lub $x=-a$.

Otrzymujemy zatem:

$x^3-1=7$ lub $x^3-1=-7$.

$x^3=8$ lub $x^3=-6$

$x=\sqrt[3]{8}$ lub $x=\sqrt[3]{-6}$

$x=2$ lub $x=\sqrt[3]{-6}$

Rozwiązaniem równania są $x=\sqrt[3]{-6}$, $x=2$.

Rozwiążemy równanie $\left|x^3-x^2\right|=\left|x-1\right|$.

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnej:

$\left|a\right|=\left|b\right|\iff a=b$ lub $a=-b$.

$x^3-x^2=x-1$ lub $x^3-x^2=-\left(x-1\right)$

$x^3-x^2-\left(x-1\right)=0$ lub $x^3-x^2+x-1=0$

$x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0$ lub $x^2\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)=0$ lub $\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)=0$

$x-1=0$ lub $x^2-1=0$ lub $x=-1$ lub $x^2=-1$ – sprzeczność

$x=1$ lub $x=1$ lub $x=-1$

Rozwiązaniem równania są $x=-1$, $x=1$.

Rozwiążemy równanie $x^{4 }-4x^2-\left|x^2-4\right|=0$.

Wykorzystamy definicję wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$wartości bezwzględnej.

$\left|x^2-4\right|=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2-4& \text{dla }x\in \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)\\ -\left(x^2-4\right)& \text{dla }x\in \left(-2, 2\right)\end{array}\right.$

1. Jeżeli $x\in \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)$ wtedy mamy:

$x^4-4x^2-\left(x^2-4\right)=0$

$x^2\left(x^2-4\right)-\left(x^2-4\right)=0$

$\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=0$

$x^2-4=0$ lub $x^2-1=0$

$x=-2\in \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)$

$x=2\in \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)$

$x=-1\notin \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)$

$x=1\notin \left(-\infty , -2\right.⟩\cup \left.⟨2, \infty \right)$

2. Jeżeli $x\in \left(-\mathrm{2,} 2\right)$ wtedy mamy:

$x^4-4x^2+\left(x^2-4\right)=0$

$x^2\left(x^2-4\right)+\left(x^2-4\right)=0$

$\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)=0$

$x^2-4=0$ lub $x^2+1=0$

$x=2\notin \left(-\mathrm{2,} 2\right)$ lub $x^2=-1$ – sprzeczne

$x=-2\notin \left(-\mathrm{2,} 2\right)$

Rozwiązaniem równania jest alternatywa $\left(1\right)$, $\left(2\right)$.

Zatem $x=-2$, $x=2$.

Rozwiążemy równanie ${\left|x-1\right|}^3-9\left|x-1\right|=0$.

Niech $|x-1|=z$, dla $z\ge 0$.

$z^3-9z=0$

$z\left(z^2-9\right)=0$

$z\left(z-3\right)\left(z+3\right)=0$

$z=0$ lub $z=3$ lub $z=-3$ – sprzeczność

$\left|x-1\right|=0$ lub $\left|x-1\right|=3$

$x=1$ lub $x-1=3$ lub $x-1=-3$

$x=1$ lub $x=4$ lub $x=-2$

Rozwiązaniem równania są $x=-2$, $x=1$, $x=4$.

Obliczymy dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $\left|x^3-1\right|+\left|x^3+1\right|=m$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x^3-1\right|=\left\{\begin{array}{ll}{x}^3-1& \text{dla }x\ge 1\\ -\left(x^3-1\right)& \text{dla }x<1\end{array}\right.$

$\left|x^3+1\right|=\left\{\begin{array}{ll}{x}^3+1& \text{dla }x\ge -1\\ -\left(x^3+1\right)& \text{dla }x<-1\end{array}\right.$

1. $x\in \left(-\infty , -1\right)$

$-\left(x^3-1\right)-\left(x^3+1\right)=m$

$-x^3+1-x^3-1=m$

$-2x^3=m$

$x^3=-\frac{m}{2}$

$x=\sqrt[3]{-\frac{m}{2}}$

2. $x\in \left.⟨-\mathrm{1,} 1\right)$

$-\left(x^3-1\right)+\left(x^3+1\right)=m$

$-x^3+1+x^3+1=m$

$m=2$

3. $x\in \left.⟨1, \infty \right)$

$x^3-1+x^3+1-m$

$2x^3=m$

$x^3=\frac{m}{2}$

$x=\sqrt[3]{\frac{m}{2}}$

Dla $m=2$ równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.