Przeczytaj

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianówWzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń możemy wyprowadzić w podobny sposób jak wzór na sumę sześcianów lub skorzystać po prostu ze wzoru na sumę sześcianów.

Poniżej oba sposoby otrzymania wzoru.

Pierwszy sposób

Chcemy zapisać wyrażenie $a^{3} - b^{3}$ w postaci iloczynu. W tym celu do wyrażenia dodamy $a^{2} b$ i odejmiemy $a^{2} b$ .

a^{3} - b^{3} = a^{3} + a^{2} b - a^{2} b - b^{3}

Grupujemy wyrazy i z pierwszej sumy wyłączamy przed nawias $a^{2}$ , a z drugiej $b$ .

a^{3} - b^{3} = a^{3} - a^{2} b + a^{2} b - b^{3} = a^{2} (a - b) + b (a^{2} - b^{2})

Różnicę $a^{2} - b^{2}$ zapisujemy w postaci iloczynu $(a + b) (a - b)$ , korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tak powstałego wyrażenia, wyłączamy przed nawias wspólny czynnik, czyli $(a - b)$ .

a^{3} - b^{3} = a^{2} (a - b) + b (a + b) (a - b) = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Drugi sposób

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, do którego w miejsce $b$ podstawiamy $(- b)$ .

a^{3} + {(- b)}^{3} = [a + (- b)] \cdot [a^{2} - a \cdot (- b) + {(- b)}^{2}] = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.

bg‑azure

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń:

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń powiększoną o iloczyn tych wyrażeń.

Niekiedy wyrażenie $a^{2} + a b + b^{2}$ nazywamy niepełnym kwadratem sumy wyrażeń $a$ i $b$ . Wtedy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianówwzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów możemy zapisać słownie: różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy.

Wyprowadzony wzór ma podobne zastosowania jak poznane wcześniej wzory skróconego mnożenia.

Korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów, można niektóre sumy zapisywać w postaci iloczynów.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci iloczynu.

x^{3} - 1 = x^{3} - 1^{3} = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

a^{3} - 2 = (a - \sqrt[3]{2}) (a^{2} + a \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})

x^{6} - 27 = {(x^{2})}^{3} - 3^{3} = (x^{2} - 3) (x^{4} + 3 x^{2} + 9)

8 x^{3} - 125 x = {(2 x)}^{3} - {(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = (2 x - 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} + 2 x \cdot 5 \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}}) =

= (2 x - 5 \sqrt[3]{x}) (4 x^{2} + 10 x \sqrt[3]{x} + 25 \sqrt[3]{x^{2}})

Przykład 2

Przekształcimy różnice potęg na iloczyny, wykorzystując wzór na różnicę sześcianów.

x^{6} - a^{6} = {(x^{2})}^{3} - {(a^{2})}^{3} = (x^{2} - a^{2}) (x^{4} + a^{2} x^{2} + a^{4})

\frac{8}{27} - x^{12} = (\frac{2}{3} - x^{4}) (\frac{4}{9} + \frac{2}{3} x^{4} + x^{8})

Wykorzystanie wzoru na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Licznik i mianownik podanego ułamka rozkładamy na czynniki i skracamy.

\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia – w miejsce $x$ wstawiamy $\sqrt{3}$ , wykonujemy wskazane działania i usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

\frac{{(\sqrt{3})}^{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(4 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}

= \frac{4 \sqrt{3} - 4 + 3 - \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa $\frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}$ .

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów jest zapisywanie iloczynu w postaci różnicy.

Rci5VP1oigbbC

Ilustracja przedstawia równanie zobrazowane za pomocą kwadratów i kół wstawionych w miejscu liczb. Lewa strona równania stanowi iloczyn dwóch nawiasów. Nawias pierwszy to różnica kwadratu i koła. Nawias drugi to kwadrat do potęgi drugiej dodać kwadrat mnożone przez koło dodać koło do potęgi drugiej. To równa się stronie prawej, czyli kwadrat do potęgi trzeciej odjąć koło do potęgi trzeciej.

Przykład 4

Zapiszemy iloczyny algebraiczne w postaci różnic.

(5 a - 1) (25 a^{2} + 5 a + 1) = {(5 a)}^{3} - 1^{3} = 125 a^{3} - 1

(3 x - 2 y) (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2}) = {(3 x)}^{3} - {(2 y)}^{3} = 27 x^{3} - 8 y^{3}

(\sqrt[3]{3} a - a) (\sqrt[3]{9} a^{2} + \sqrt[3]{3} a^{2} + a^{2}) = 3 a^{3} - a^{3} = 2 a^{3}

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

(2 - \sqrt[3]{2}) (4 + 2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 8 - 2 = 6

(1 - \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2} + 2) = 1^{3} - {(\sqrt{2})}^{3} = 1 - 2 \sqrt{2}

Słownik

wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów

różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez sumę kwadratów tych wyrażeń powiększoną o iloczyn tych wyrażeń

Wprowadzenie

Animacja

Słownik