Przeczytaj
Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, z których będziemy korzystać.
Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Ciąg arytmetyczny | ||
---|---|---|
Wyraz ogólny ciągu | Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu | Suma początkowych wyrazów ciągu |
Gustav Lejeune Dirichlet ( – ), niemiecki matematyk francuskiego pochodzenia w roku udowodnił twierdzenie, które dzisiaj nazywamy twierdzeniem Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągu arytmetycznym.
Jeżeli liczby naturalne i są względnie pierwsze, to ciąg arytmetyczny
zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Konsekwencją tego twierdzenia jest wiele ciekawych wniosków:
Jeżeli w ciągu Dirichleta pewien wyraz jest –tą potęgą liczby naturalnej, to ciąg ten zawiera nieskończenie wiele –tych potęg liczb pierwszych.
Dla dowolnej liczby naturalnej ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny , , , , zawiera nieskończenie wiele –tych potęg liczb pierwszych.
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, których zapis dziesiętny kończy się na , , , .
W tablicy zapisano przykłady ciągów liczb pierwszych tworzących ciąg arytmetyczny czterowyrazowy.
Różnica ciągu | Ciąg arytmetyczny |
---|---|
Liczby zapisane w kwadracie, to liczby pierwsze. Tworzą one ciąg arytmetyczny czterowyrazowy odpowiednio w każdym wierszu i w każdej kolumnie.
Liczby pierwsze tworzące ciąg arytmetyczny | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Teraz podamy przykłady zastosowania wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Obliczymy sumę wszystkich liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od .
Liczby nieparzyste , , , , tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy i pierwszym wyrazie .
Najpierw określimy ile liczb należy dodać. Skorzystamy ze wzoru na –ty wyraz ciągu arytmetycznego. Stąd:
Wyznaczamy teraz szukaną sumę.
Odpowiedź:
Suma wszystkich liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od jest równa .
Obliczymy sumę stu początkowych liczb naturalnych, które w dzieleniu przez dają resztę .
Liczba naturalna, która w dzieleniu przez daje resztę , jest postaci , gdzie jest liczbą naturalną. Liczby te tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz , a różnica jest równa . Obliczymy setny wyraz tego ciągu.
Wyznaczamy sumę wyrazów ciągu.
Odpowiedź:
Suma stu początkowych liczb naturalnych, które w dzieleniu przez dają resztę jest równa .
Własności ciągu arytmetycznego można wykorzystać do powtórzenia wiadomości o logarytmach.
Obliczymy, dla jakich wartości liczby , , w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny.
Z definicji logarytmu wynika, że
i
Z tego wynika, że podane liczby utworzą ciąg arytmetyczny, gdy .
Z własności wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że
Różnica logarytmów jest równa logarytmowi ilorazu, zatem
Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że
Przekształcamy otrzymane równanie, podstawiając , .
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
– nie spełnia warunków zadania, bo
Stąd
Otrzymana liczba jest dodatnia, zatem spełnia warunki zadania.
Odpowiedź:
Podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, gdy .
Logarytmy dziesiętne trzech liczb , , tworzą, w tej kolejności, ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny. Suma odwrotności tych liczb jest równa , a suma kwadratów odwrotności tych liczb jest równa . Znajdź te liczby.
Liczby: , , tworzą ciąg arytmetyczny – z definicji logarytmu wynika, że , , .
Z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że
Teraz korzystamy z własności logarytmu potęgi i logarytmu iloczynu.
Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że
Zapisujemy równanie wynikające z tego, że suma odwrotności liczb , , jest równa .
Teraz zapisujemy równanie wynikające z tego, że suma kwadratów odwrotności liczb , , jest równa .
Oznaczamy:
,
,
.
Otrzymujemy w ten sposób układ równań:
Aby rozwiązać ten układ, podnosimy do kwadratu drugie z równań (liczby , , są dodatnie).
Do otrzymanego równania podstawiamy za liczbę , a za wyrażenie liczbę .
Z otrzymanego równania wyznaczamy .
Podstawiamy za wyznaczoną liczbę do pierwszych dwóch równań układu.
Z drugiego z równań układu wyznaczamy .
lub
Jeśli to i , , .
Jeśli to i , , .
Znalezione liczby , , są dodatnie, spełniają więc warunki zadania.
Odpowiedź:
Szukane liczby to , , .
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu