Przeczytaj
Każde równanie trygonometryczne staramy się sprowadzić do równania postaci: , , . Poniżej pokażemy jak stosować wzory na funkcje podwojonego argumentu przy czym wzory te będziemy stosować zarówno do zwijania jak i rozwijania wyrażeń trygonometrycznych.
Rozwiążemy równanie w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy równanie w postaci:
.
Przenosimy składniki na lewą stronę:
i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik:
.
Zatem równanie jest równoważne alternatywie równań:
lub .
Równanie ma rozwiązania:
, gdzie .
Równanie ma rozwiązania:
lub , gdzie ,
czyli lub , gdzie .
Zatem odpowiedź jest następująca: lub lub , gdzie .
Rozwiążemy równanie: w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia rozkładamy na czynniki lewą stronę równania:
.
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej oraz wzoru na cosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta zwijamy równanie do postaci:
.
Przenosząc wszystkie składniki na lewą stronę otrzymujemy postać iloczynową:
.
Zatem otrzymujemy alternatywę warunków:
lub .
Równanie jest spełnione dla , gdzie .
Równanie jest spełnione dla lub , gdzie .
Stąd otrzymujemy odpowiedź:
lub lub , gdzie .
Rozwiążemy równanie w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Najpierw zapiszmy założenia: , czyli , gdzie .
Korzystając z tożsamości zapiszmy równanie w postaci:
.
Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kątawzoru na sinus podwojonego kąta, zapiszmy równanie następująco:
.
Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej:
.
Stąd otrzymujemy alternatywę równań:
lub .
Równanie spełniają , gdzie .
Równanie rozwiązujemy, wykorzystując metodę porównywania wartości funkcji cosinus. Równanie ma rozwiązania: lub , gdzie .
Stąd dostajemy:
lub , gdzie .
Sprawdzamy, że żaden element wykluczony z dziedziny nie pokrywa się z elementami rozwiązania.
Odpowiedź: lub lub , gdzie .
Uwaga
W przykładzie 3 równanie najłatwiej było rozwiązać z wykorzystaniem funkcji sinus i cosinus. Rozpisanie wyrażenia z wykorzystaniem wzoru na tangens podwojonego kątatangens podwojonego kąta nie da prostszego rozwiązania.
Rozwiążemy równanie w liczbach rzeczywistych.
Rozwiązanie
Zapiszmy założenia: , czyli , gdzie .
Skorzystamy ze wzoru , ale przekształcimy go do postaci związanej z funkcją tangens argumentu :
.
Teraz licznik i mianownik dzielimy przez (wolno to zrobić, gdyż z założeń ) i otrzymujemy:
W ten sposób doprowadziliśmy do równania z jedną niewiadomą w postaci funkcji trygonometrycznej tangens:
.
Podstawmy . Otrzymujemy wówczas:
.
Po pomnożeniu równania stronami przez otrzymujemy równanie wielomianowe:
.
Przez obserwację współczynników możemy zauważyć, że suma współczynników jest równa , co oznacza, że pierwiastkiem wielomianu jest . Zapisujemy zatem:
.
Wyróżnik trójmianu jest równy:
, co oznacza, że trójmian nie ma pierwiastków.
Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest , czyli
. Rozwiązaniem równania jest , gdzie .
Słownik
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej i , gdzie