Przeczytaj
Ciąg geometryczny jest pewną funkcją, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb naturalnych lub zbiór liczb naturalnych. Zatem definicje określające monotoniczność ciągu geometrycznego i sposoby określania tej monotoniczności, są analogiczne jak dla funkcji liczbowych.
Ciąg geometryczny rosnącyCiąg geometryczny rosnący
Na wykresie zaznaczonych jest kilka początkowych wyrazów ciągu , określonego wzorem ogólnym
gdzie .
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest rosnącyrosnący.
Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów geometrycznych rosnących.
Zauważmy, że jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego rosnącego jest dodatni, to iloraz ciągu jest większy od . Natomiast, jeśli pierwszy wyraz ciągu jest ujemny, to iloraz ciągu musi być dodatni, ale mniejszy od .
Niech będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie .
Ciąg ten jest ciągiem rosnącym, gdy:
i
lub
i
Wykażemy, że ciąg geometryczny określony wzorem , gdzie , jest rosnący.
Aby wykazać, że ciąg jest rosnący, należy zbadać różnicę (dla dowolnego ).
Przekształcamy otrzymane wyrażenie, korzystając z własności potęgowania.
Zarówno liczba , jak i liczba to liczby dodatnie. Iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią.
Pokazaliśmy, że dla każdej liczby naturalnej spełniony jest warunek , co oznacza, że ciąg jest rosnący.
Znajdziemy takie liczby , , dla których ciąg jest ciągiem geometrycznym rosnącym.
Niech będzie ilorazem rozpatrywanego ciągu.
Wtedy:
– pierwszy wyraz ciągu,
– drugi wyraz ciągu,
– trzeci wyraz ciągu,
– czwarty wyraz ciągu.
Wyznaczamy iloraz rozpatrywanego ciągu.
lub
Ciąg ma być rosnący, zatem tylko spełnia warunki zadania.
Odpowiedź:
Szukane liczby to , .
Ciąg geometryczny malejącyCiąg geometryczny malejący
Na wykresie zaznaczonych jest kilka wyrazów ciągu , określonego wzorem ogólnym
gdzie .
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego. O takim ciągu mówimy, że jest malejącymalejący.
Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów geometrycznych malejących.
Zauważmy, że jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego malejącego jest ujemny, to iloraz ciągu jest większy od . Natomiast, jeśli pierwszy wyraz ciągu jest dodatni, to iloraz ciągu musi być dodatni, ale mniejszy od .
Niech będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie .
Ciąg ten jest ciągiem malejącym, gdy:
i
lub
i
Określimy dla jakim wartości parametru ( i ) ciąg geometryczny określony wzorem ogólnym , gdzie jest malejący.
Zauważmy, że pierwszy wyraz rozpatrywanego ciągu to .
Natomiast iloraz ciągu to .
Korzystając z twierdzenia o ciągu geometrycznym malejącym, rozpatrzymy dwa przypadki.
i
i
i
Określamy część wspólną wszystkich warunków, jakie musi spełniać parametr .
Otrzymujemy: .i
i
i
Określamy część wspólną wszystkich warunków, jakie musi spełniać parametr .
Otrzymujemy: .
Z obu rozpatrywanych warunków wynika, że .
Odpowiedź:
Ciąg geometryczny jest ciągiem malejącym dla .
Liczby , , , (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny malejący. Iloczyn logarytmów dziesiętnych pierwszej i czwartej z tych liczb jest równy . Iloczyn logarytmów dziesiętnych drugiej i trzeciej z tych liczb jest równy . Znajdziemy te liczby.
Oznaczmy przez iloraz ciągu .
Wtedy:
Aby istniały logarytmy dziesiętne liczb , , , , każda z tych liczb musi być dodatnia. Zatem:
Zapiszemy pierwszą z zależności między podanymi liczbami, wynikającą z treści zadania: iloczyn logarytmów dziesiętnych pierwszej i czwartej z tych liczb jest równy , czyli:
Z treści zadania ponad to wynika, że iloczyn logarytmów dziesiętnych drugiej i trzeciej z tych liczb jest równy . Stąd:
Z własności iloczynu wynika, że:
lub .
Rozpatrzymy więc dwie możliwości.
1 możliwość:
Ponieważ , więc
(, bo )
Podstawiamy wyznaczone do .
Przekształcamy otrzymane wyrażenie, korzystając z własności logarytmów.
Wyznaczamy z otrzymanego równania kwadratowego .
lub
lub
lub
Wyznaczamy i pozostałe wyrazy ciągu dla obu znalezionych wartości .
Każda z otrzymanych liczb jest dodatnia, ale ciąg jest rosnący, nie spełnia więc warunków zadania.
Każda z otrzymanych liczb jest dodatnia i ciąg jest ciągiem malejącym, spełnia więc warunki zadania.
2 możliwość: .
Postępujemy podobnie, jak poprzednio. Wyznaczamy i podstawiamy do .
()
Korzystamy z własności logarytmu potęgi.
lub
Otrzymaliśmy do rozwiązania dokładnie te same równania, co w możliwości. Jednak rozwiązanie jest inne.
Jeśli to i . Ciąg jest wtedy rosnący, więc nie spełnia warunków zadania.
Jeśli Jeśli to i . Wtedy
.
Odpowiedź:
Szukane liczby to:
, , ,
lub
, , , .
Ciąg geometryczny stały
Na wykresie zaznaczonych jest kilka wyrazów ciągu , określonego wzorem ogólnym
gdzie .
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu ma tą samą wartość. O takim ciągu mówimy, że jest stały.
Poniżej przykłady jeszcze kilku ciągów geometrycznych stałych.
Zauważmy, że iloraz ciągu geometrycznego stałego jest równy jeśli pierwszy wyraz ciągu jest różny od . Jeśli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego stałego jest równy , to iloraz ciągu może być dowolną liczbą rzeczywistą.
Niech będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie .
Ciąg ten jest ciągiem stałym, gdy:
i
lub
i
Zauważmy, że jeśli i to ciąg jest stały, począwszy od drugiego wyrazu.
Ciąg stały nie jest ani rosnący, ani malejący.
Znajdziemy taką liczbę , dla której ciąg jest trzywyrazowym ciągiem stałym.
W ciągu stałym wszystkie wyrazy są równe, zatem:
Ciąg ma postać: .
Odpowiedź:
Szukana liczba to .
Ciąg geometryczny naprzemienny
Nie każdy ciąg geometryczny jest monotoniczny. Fragment wykresu takiego ciągu przedstawia rysunek. Zauważmy, że wyrazy tego ciągu są na przemian dodatnie i ujemne. O takim ciągu mówimy, że jest naprzemienny.
Jeśli ciąg geometryczny jest takim ciągiem, że i to ciąg ten jest ciągiem naprzemiennym, czyli wyrazy tego ciągu są na przemian dodatnie i ujemne.
Gdy i to wszystkie wyrazy o indeksach nieparzystych, ciągu określonego wzorem ogólnym , są dodatnie, zaś wyrazy o indeksach parzystych są ujemne.
Gdy i to wszystkie wyrazy o indeksach nieparzystych, ciągu określonego wzorem ogólnym , są ujemne, zaś wyrazy o indeksach parzystych są dodatnie.
Przykłady ciągów naprzemiennych:
Słownik
niech będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie ; ciąg ten jest ciągiem rosnącym, gdy:
i
lub
i
niech będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie ; ciąg ten jest ciągiem malejącym, gdy:
i
lub
i