Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trójkątem równoramiennym o ramionach długości $13 \mathrm{cm}$ i podstawie $10 \mathrm{cm}$. Obliczymy polepole ostrosłupapole tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Narysujemy jedną ze ścian bocznych rozpatrywanego ostrosłupa.

RgLgqHXWuzd34

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Podstawa trójkąta ma długość 10, ramiona trójkąta mają długość trzynaście. Wysokość trójkąta h, jest pod kątem prostym do podstawy i dzieli ją na dwa odcinki o długości pięć.

Obliczymy wysokość ściany bocznej. Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$h^2+5^2={13}^2$,

$h^2=144$,

$h=12$.

Podstawimy liczby do wzoru na pole ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego.

Obliczamy pole powierzchni podstawy $P_p=\frac{6·{10}^2\sqrt{3}}{4}=150\sqrt{3}$,

pole powierzchni bocznej $P_b=3·10·12$

i ostatecznie pole całkowite powierzchni ostrosłupa $P_c=150\sqrt{3}+360$.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $S$. Obliczymy długość krawędzi podstawy, jeśli krawędź boczna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem $\alpha$.

Rozwiązanie

Narysujmy jedną ze ścian bocznych rozpatrywanego ostrosłupa.

R1Bv22A2672kf

Ilustracja przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta jest podpisana literą a, kąt pomiędzy ramieniem a podstawą podpisano literą alfa. Wysokość trójkąta h, jest pod kątem prostym do podstawy i dzieli ją na dwa odcinki o długości $\frac{1}{2}a$.

Wiemy, że pole powierzchni bocznej $P_b=S=3ah$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, mamy: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{h}{{\displaystyle \frac{1}{2}}a}$.

Stąd wyznaczmy wysokość ściany bocznej $h=\frac{1}{2}a\cdot \mathrm{tg}\alpha$,

którą podstawiamy do wzoru na pole powierzchni bocznej $S=3a\cdot \frac{1}{2}a\cdot \mathrm{tg}\alpha$.

Ostatecznie wyprowadzamy wzór na długość krawędzi podstawy $a$.

$2S=3a^2\mathrm{tg}\alpha$

$\frac{2S}{3\mathrm{tg}\alpha }=a^2$

$a=\sqrt{\frac{2S}{3\mathrm{tg}\alpha }}$

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $a$ i kącie płaskim przy wierzchołkukąt płaski przy wierzchołku ostrosłupakącie płaskim przy wierzchołku ostrosłupa $2\alpha$ jest dwukrotnie mniejsze od jego pola powierzchni bocznej. Obliczymy tangens kąta $\alpha$.

Rozwiązanie

Narysujmy ścianę boczną ostrosłupa:

R1WvELlX76C5t

Ilustracja przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta jest podpisana literą a, kąt pomiędzy ramionami podpisano dwa alfa.

Wiemy, że $P_b=2P_p$,

Niech $h$ – wysokość ściany bocznej.

Wówczas $3ah=2·\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}$,

stąd otrzymujemy wysokość ściany bocznej $h=a\sqrt{3}$.

ReoucmhWxJ0O0

Ilustracja przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta jest podpisana literą a. Wysokość trójkąta h, jest pod kątem prostym do podstawy i dzieli ją na dwa odcinki o długości $\frac{1}{2}a$. Kąt pomiędzy wysokością a ramieniem podpisano literą alfa.

Zauważmy, że

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{1}{2}a}{h}=\frac{a}{2h}$,

$2h\cdot \mathrm{tg}\alpha =a$.

Podstawiając $\sqrt{3}a$ w miejsce $h$ otrzymujemy:

$2\sqrt{3}a\cdot \mathrm{tg}\alpha =a$,

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $a$, wiedząc, że kąt pomiędzy wysokością a krawędzią boczną ostrosłupa wynosi $\alpha$.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R1Gzrc3acxLID

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wierzchołki podstawy to A B C D E F, górny wierzchołek ostrosłupa to S. Krawędź podstawy jest podpisana literą a. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa, krawędzi ściany bocznej oraz połowy dłuższej przekątnej podstawy, która łączy wysokość z krawędzią boczną. Spodek wysokości podpisano literą O. Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest krawędź ściany bocznej SC, kąt pomiędzy tą krawędzią a wysokością ostrosłupa podpisano literą alfa.

Trójkąt $SOC$ jest prostokątny, zatem wykorzystując funkcje trygonometryczne, mamy: $\frac{\left|OC\right|}{\left|SC\right|}=\sin \alpha$, gdzie $\left|OC\right|=a$. Zatem $\frac{a}{\left|SC\right|}=\sin \alpha$.

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej policzymy wysokość ściany bocznej. Oznaczymy ją jako $h$.

R1L2L50aBs628

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o wierzchołkach B C S. Wysokość trójkąta h, jest pod kątem prostym do podstawy i dzieli ją na dwa odcinki o długości $\frac{1}{2}a$. Oba ramiona trójkąta są podpisane $\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}$.

Mamy więc:

$h^2={\left(\frac{a}{\sin \alpha }\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$

$h^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\alpha }-\frac{a^2}{4}$

$h^2=\frac{4a^2-a^2{\sin }^2\alpha }{4{\sin }^2\alpha }$

$h=\frac{a\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{2\sin \alpha }$.

Zatem pole powierzchni ściany bocznej wynosi:

$P_{sb}=\frac{1}{2}a\frac{a\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{2\sin \alpha }=\frac{a^2\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{4\sin \alpha }$.

Pole powierzchni bocznej:

$P_b=6·\frac{a^2\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{4\sin \alpha }=\frac{3a^2\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{2\sin \alpha }$.

Pole podstawy:

$P_p=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Pole całkowite:

$P_c=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3a^2\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{2\sin \alpha }=\frac{3}{2}{a}^2\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{4-{\sin }^2\alpha }}{\sin \alpha }\right)$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, w którym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę $\alpha$. Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa, wiedząc, że jego pole ściany bocznej jest równe polu czworościanu foremnego o tej samej długości krawędzi podstawy $a$, co w ostrosłupie sześciokątnym.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

RikLQ8w5iiXGm

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Wierzchołki podstawy to A B C D E F, górny wierzchołek ostrosłupa to S. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi BS i CS podpisano literą alfa.

Skoro pole ściany bocznej jest równe polu czworościanu foremnego o krawędzi $a$, to $P_{sb}=4·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.

Oznaczmy długość krawędzi bocznej ostrosłupa jako $x$. Wykorzystamy wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$, gdzie $a$, $b$ są to długości dwóch boków trójkata, a $\alpha$ jest miarą kąta zawartego między nimi.

RlFzhBpQn9oWV

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o wierzchołkach B C S. Podstawa trójkąta BC jest podpisana literą a. Oba ramiona trójkąta są podpisane literą x. Kąt BSC jest podpisany literą alfa.

Mamy wiec:

$a^2\sqrt{3}=\frac{1}{2}{x}^2\sin \alpha$

$2a^2\sqrt{3}=x^2\sin \alpha$

$x^2=\frac{2a^2\sqrt{3}}{\sin \alpha }$

$x=\sqrt{\frac{2a^2\sqrt{3}}{\sin \alpha }}$.

Ostatecznie długość krawędzi bocznej ostrosłupa wynosi:

$x=a\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{\sin \alpha }}$.

ostrosłup prosty, w którym podstawa jest wielokątem foremnym

ostrosłup, w którego podstawie jest sześciokąt foremny, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami

kąt pomiędzy ramionami ściany bocznej ostrosłupa

suma pól wszystkich ścian ostrosłupa