Przeczytaj
W tym materiale zajmiemy się szczególnie ważnym typem szeregu, czyli szeregiem geometrycznym.
Najpierw wprowadźmy definicję.
Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci: , gdzie , . Liczbę q nazywamy ilorazem szeregu geometrycznego.
Sprawdzimy, czy szereg jest szeregiem geometrycznym.
Rozwiązanie
Aby szereg był geometryczny, sprawdzamy czy kolejne składniki sumy są wyrazami ciągu geometrycznego. Powinny zatem zachodzić równości:
Obliczamy
Ponieważ kolejne składniki szeregu nie są wyrazami ciągu geometrycznego, zatem nie jest to szereg geometryczny.
Zbadamy, dla jakich wartości i szereg geometryczny jest zbieżnyzbieżny.
Ciąg sum częściowych szeregu geometrycznego ma postać:
Możemy wykorzystać poznany wcześniej wzór na sumę początkowych wyrazów ciąg geometrycznego
Sformułujemy twierdzenie opisujące, dla jakich wartości oraz szereg geometryczny jest zbieżny.
Przypadek
Zauważmy, że szczególnym przypadkiem jest . Wówczas wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych są równe , czyli szereg jest zbieżny do .
Przypadek
Niech .
Niech . Wtedy i widzimy, że: .
Zatem szereg jest rozbieżny.
Gdy , wtedy dla nieparzystych liczb naturalnych , a dla dodatnich parzystych liczb naturalnych . Zatem nie istnieje , czyli szereg jest rozbieżny.
Jeżeli , to . Wówczas
, gdy ,
, gdy .
Zatem szereg jest rozbieżny.
Jeżeli , to ciąg jest rozbieżny, czyli szereg jest rozbieżny.
Jeżeli , to i wówczas .
Możemy sformułować zatem twierdzenie.
Jeżeli lub , to szereg geometryczny jest zbieżny.
Jeżeli , to .
Jeżeli , to .
Dany jest szereg geometryczny: Zbadamy, czy podany szereg jest zbieżny. Jeżeli jest zbieżny, podamy jego sumę.
Rozwiązanie
Zbadamy jaki jest iloraz podanego szeregu:
Zatem
Zatem szereg jest zbieżny i jego suma jest równa: .
Dany jest szereg geometryczny: .
Zbadamy, dla jakich wartości podany szereg jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.
Rozwiązanie
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub .
Ponieważ w analizowanym szeregu i , zatem, aby szereg był zbieżny, musi zajść jeden z dwóch warunków:
lub .
Rozwiązujemy nierówność: .
Wówczas
lub
lub
Jeżeli , to .
Jeżeli , to .
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny gdy .
Dany jest szereg geometryczny: .
Zbadamy, dla jakich wartości szereg geometryczny jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.
Rozwiązanie
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub .
Ponieważ , zatem rozwiążemy tylko warunek: .
Zatem i
.
Rozwiązujemy nierówność:
lub
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
Rozwiązujemy nierówność: .
lub
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny dla . Suma szeregu jest równa .
Słownik
szereg, dla którego ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy liczbowej