Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W tym materiale zajmiemy się szczególnie ważnym typem szeregu, czyli szeregiem geometrycznym.

Najpierw wprowadźmy definicję.

szeregu geometrycznego
Definicja: szeregu geometrycznego

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci: n=1a1·qn-1, gdzie a1,q. Liczbę q nazywamy ilorazem szeregu geometrycznego.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy szereg 1+16+112+124+ jest szeregiem geometrycznym.

Rozwiązanie

Aby szereg był geometryczny, sprawdzamy czy kolejne składniki sumy są wyrazami ciągu geometrycznego. Powinny zatem zachodzić równości:

161=11216=124112=...

Obliczamy

161=16

11216=12

Ponieważ kolejne składniki szeregu nie są wyrazami ciągu geometrycznego, zatem nie jest to szereg geometryczny.

Zbadamy, dla jakich wartości a1q szereg geometryczny n=1a1qn1 jest zbieżnyszereg zbieżnyzbieżny.

Ciąg sum częściowych szeregu geometrycznego ma postać:

S1=a1S2=a1+a1qS3=a1+a1q+a1q2Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn1

Możemy wykorzystać poznany wcześniej wzór na sumę n początkowych wyrazów ciąg geometrycznego

Sn=a1·1-qn1-q, gdy q1na1, gdy q=1

Sformułujemy twierdzenie opisujące, dla jakich wartości a1 oraz q szereg geometryczny jest zbieżny.

Przypadek I

Zauważmy, że szczególnym przypadkiem jest a1=0. Wówczas wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych są równe 0, czyli szereg jest zbieżny do 0.

Przypadek II

Niech a10.

  1. Niech q=1. Wtedy Sn=na1 i widzimy, że: n=1a1·qn-1=limnSn=+, gdy a1>0-, gdy a1<0.

Zatem szereg n=1a1·qn-1 jest rozbieżny.

  1. Gdy q=-1, wtedy Sn=a1 dla nieparzystych liczb naturalnych n, a Sn=0 dla dodatnich parzystych liczb naturalnych n. Zatem nie istnieje limnSn, czyli szereg n=1a1·qn-1jest rozbieżny.

  2. Jeżeli q>1, to limnqn=+. Wówczas

limnSn=limn(a11qn1q)=+, gdy a1>0,

limnSn=limn(a11qn1q)=

, gdy a1<0.

Zatem szereg n=1a1·qn-1 jest rozbieżny.

  1. Jeżeli q<-1, to ciąg (qn) jest rozbieżny, czyli szereg n=1a1·qn-1 jest rozbieżny.

  2. Jeżeli |q|<1, to limnqn=0 i wówczas limnSn=a11-q.

Możemy sformułować zatem twierdzenie.

o zbieżności szeregu geometrycznego
Twierdzenie: o zbieżności szeregu geometrycznego

Jeżeli |q|<1 lub a1=0, to szereg geometryczny n=1a1·qn-1 jest zbieżny.

Jeżeli a1=0, to n=1a1·qn-1=0.

Jeżeli |q|<1, to n=1a1·qn-1=limnSn=a11-q.

Przykład 2

Dany jest szereg geometryczny: 1-23+49-827+ Zbadamy, czy podany szereg jest zbieżny. Jeżeli jest zbieżny, podamy jego sumę.

Rozwiązanie

Zbadamy jaki jest iloraz podanego szeregu:

q=-231=-23

Zatem |g|=23<1

Zatem szereg jest zbieżny i jego suma jest równa: 1-23+49-827+=11-(-23)=35.

Przykład 3

Dany jest szereg geometryczny: x+xx+1+x(x+1)2+x(x+1)3+.

Zbadamy, dla jakich wartości x podany szereg jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.

Rozwiązanie

Szereg geometryczny n=1a1·qn-1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy a1=0 lub |q|<1.

Ponieważ w analizowanym szeregu a1=xq=1x+1, zatem, aby szereg był zbieżny, musi zajść jeden z dwóch warunków:

x=0 lub |1x+1|<1.

Rozwiązujemy nierówność: |1x+1|<1.

Wówczas 1<|x+1|

x+1>1 lub x+1<-1

x>0 lub x<-2

Jeżeli x=0, to x+xx+1+x(x+1)2+x(x+1)3+=0.

Jeżeli x(-,-2)(0,+), to x+xx+1+x(x+1)2+x(x+1)3+=x1-1x+1=x+1.

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny gdy x(-,-2)0,+).

Przykład 4

Dany jest szereg geometryczny: 1+(x2+3x+1)+(x2+3x+1)2+(x2+3x+1)3.

Zbadamy, dla jakich wartości x szereg geometryczny jest zbieżny. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny wyznaczymy jego sumę.

Rozwiązanie

Szereg geometryczny n=1a1·qn-1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy a1=0 lub |q|<1.

Ponieważ a1=1, zatem rozwiążemy tylko warunek: |x2+3x+1|<1.

Zatem x2+3x+1<1i
1<x2+3x+1.

Rozwiązujemy nierówność: x2+3x+1>1

x2+3x+2>0

Δ=1

x1=-1 lub x2=-2

Rozwiązaniem nierówności x2+3x+1>1 jest zbiór(,2)(1,+).

Rozwiązujemy nierówność: 1>x2+3x+1.

0>x2+3x

0>x(x+3)

x3=0 lub x4=-3

Rozwiązaniem nierówności 1<x2+3x+1 jest zbiór (3,0).

Odpowiedź: Szereg jest zbieżny dla x(3,2)(1,0). Suma szeregu jest równa 1-x2-3x.

Słownik

szereg zbieżny
szereg zbieżny

szereg, dla którego ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy liczbowej