Symetrię względem punktu o współrzędnych (czyli początku układu współrzędnych) będziemy oznaczać , zaś obraz punktu w tej symetrii - albo (o ile z kontekstu będzie wiadomo, o jakie przekształcenie płaszczyznyprzekształcenie płaszczyznyprzekształcenie płaszczyzny chodzi).
Przypomnijmy najpierw konstrukcję, dzięki której możemy wyznaczyć obraz danego punktu w symetrii środkowej względem punktu :
Obrazem punktu w symetrii względem punktu jest punkt .
R1Gx2WorLtZbI
Aby wyznaczyć obraz punktu różnego od punktu o współrzędnych w symetrii względem punktu :
Prowadzimy prostą przez punkty i .
Odmierzamy długość odcinka .
Odkładamy na prostej odcinek o długości o jednym z końców w punkcie , ale po przeciwnej stronie punktu niż tej, po której znajduje się punkt (równoważnie: rysujemy okrąg o środku w punkcie i promieniu ).
Koniec narysowanego odcinka (punkt przecięcia prostej i okręgu) jest obrazem punktu w symetrii względem punktu .
R19dxSLg3txXL
RpLWOFiY0TLvN
R1UCDnp8J10m4
RCKT6TUqD7FqZ
Niech punkt ma współrzędne . Zrzutujemy teraz punkty i (obraz punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych) na oś pod kątem prostym. Rzuty prostokątne punktów i na oś oznaczmy jako i .
R1axcqi3nYWso
Wówczas kąty oraz mają równe miary jako kąty wierzchołkowe. Poza tym kąty oraz są proste oraz . Zatem trójkąty oraz są przystające. Ponieważ przyprostokątne omawianych trójkątów mają równe długości, więc współrzędne punktu są równe . Zatem współrzędne obrazu punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych są liczbami przeciwnymi do współrzędnych punktu .
Rozważmy ponownie punkt o współrzędnych . Jego obraz w symetrii względem osi ma współrzędne . Obraz punktu w symetrii względem osi ma współrzędne , czyli takie same jak obraz punktu w symetrii względem początku układu współrzędnych. Mówimy, że symetria względem punktu jest złożeniem symetrii względem osi oraz symetrii względem osi i piszemy . W tym konkretnym przypadku złożenie symetrii względem osi i symetrii względem osi może zostać wykonane w dowolnej kolejności, dając ten sam efekt, więc możemy napisać , ale ogólnie składanie przekształceń nie jest przemienne.
R12aThuLsNm9f
Rf5TkDw4zku9t
Obrazem odcinka w symetrii względem punktu jest odcinek , gdzie i są obrazami punktów i względem punktu :
R1biktvl3ZyNA
R15Hn9Wy5MyZL
Przykład 1
Rozważmy punkty , i . Znajdziemy obraz trójkąta o symetrii względem punktu .
RcuK0z19rbJLl
Aby znaleźć obraz wielokąta w symetrii wystarczy znależć obraz wierzchoków tego wielokąta. Mamy zatem , i .
Przykład 2
Wyznaczymy równanie obrazu figury o równaniu w symetrii względem początku układu współrzędnych.
Niech punkt będzie dowolnym punktem figury . Wówczas jego obraz w symetrii względem punktu ma współrzędne . Stąd i , co po podstawieniu do równania figury daje równanie figury . Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy równanie . Otrzymaliśmy związek między współrzędnymi punktów należących do figury . Dokładnie ten sam zbiór punktów opisuje równanie .
W prostokątnym układzie współrzędnym narysujemy figury i :
R1TgmCPjuaPR2
Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:
Jeśli figura opisana jest równaniem , to obraz figury przez symetrię względem punktu opisuje się równaniem . Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej podstawić , zaś w miejsce zmiennej wstawić .
Zauważmy jeszcze, że symetria w punkcie jest izometrią i inwolucjąinwolucjainwolucją.
Przykład 3
Rozważmy trójkąt oraz jego obraz względem osi .
RK55jhK3RUIof
Zauważmy, że, wymieniając wierzchołki trójkąta w kolejności alfabetycznej, podajemy je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zaś wymieniając obrazy , , punktów , , w symetrii względem osi , podajemy wierzchołki trójkąta , zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Mówimy, że symetria względem osi zmienia orientację płaszczyzny. Ogólnie: symetria względem dowolnej prostej zmienia orientację płaszczyzny.
Rozważmy teraz trójkąt oraz jego obraz względem punktu . Tym razem wymieniając wierzchołki trójkąta oraz ich obrazy, podajemy je w “tym samym kierunku”. Mówimy, że symetria względem punktu nie zmienia orientacji płaszczyzny.
RhfouXfU6HYFn
Wynika to z twierdzenia, którego szczegółowy dowód tu pominiemy (Twierdzenie: złożenie dwóch (parzyście wielu) przekształceńzłożenie przekształceńzłożenie dwóch (parzyście wielu) przekształceń zmieniających orientację płaszczyzny jest przekształceniem niezmieniającym orientacji płaszczyzny) oraz faktu, że symetria względem punktu jest złożeniem dwóch symetrii względem prostych.
Słownik
inwolucja
inwolucja
takie przekształcenie płaszczyzny, które jest odwrotne do samego siebie (wykonane dwukrotnie przywraca pierwotne położenie każdego punktu płaszczyzny)
złożenie przekształceń
złożenie przekształceń
przekształcenie, które można rozpatrywać jako wykonanie dwóch (lub więcej) przekształceń jedno po drugim
przekształcenie płaszczyzny
przekształcenie płaszczyzny
funkcja, która punktom pewnej płaszczyzny przyporządkowuje punkty tej samej płaszczyzny