Symetrię względem punktu $O$ o współrzędnych $\left(0,0\right)$ (czyli początku układu współrzędnych) będziemy oznaczać $S_{\left(0,0\right)}$, zaś obraz punktu $A$ w tej symetrii - $S_{\left(0,0\right)}\left(A\right)$ albo $A\text{'}$ (o ile z kontekstu będzie wiadomo, o jakie przekształcenie płaszczyznyprzekształcenie płaszczyznyprzekształcenie płaszczyzny chodzi).

Przypomnijmy najpierw konstrukcję, dzięki której możemy wyznaczyć obraz danego punktu w symetrii środkowej względem punktu $\left(0,0\right)$:

1. Obrazem punktu $A=\left(0,0\right)$ w symetrii względem punktu $O=\left(0,0\right)$ jest punkt $A\text{'}=A=\left(0,0\right)$.

R1Gx2WorLtZbI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także punkt A o współrzędnych nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Punkt A pokrywa się z punktem A prim.

Aby wyznaczyć obraz $A\text{'}$ punktu $A=\left(x,y\right)$ różnego od punktu o współrzędnych $\left(0,0\right)$ w symetrii względem punktu $O=\left(0,0\right)$:

2. Prowadzimy prostą przez punkty $O$ i $A$.

3. Odmierzamy długość odcinka $OA$.

4. Odkładamy na prostej $OA$ odcinek o długości $\left|OA\right|$ o jednym z końców w punkcie $O$, ale po przeciwnej stronie punktu $O$ niż tej, po której znajduje się punkt $A$ (równoważnie: rysujemy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $\left|OA\right|$).

5. Koniec narysowanego odcinka (punkt przecięcia prostej i okręgu) jest obrazem $A\text{'}$ punktu $A$ w symetrii względem punktu $O=\left(0,0\right)$.

R19dxSLg3txXL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także punkt A o współrzędnych nawias dwa średnik trzy koniec nawiasu.

RpLWOFiY0TLvN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono punkt A o współrzędnych nawias dwa średnik trzy koniec nawiasu oraz prostą przechodzącą przez punkt A oraz punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu.

R1UCDnp8J10m4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono punkt A o współrzędnych nawias dwa średnik trzy koniec nawiasu oraz prostą przechodzącą przez punkt A oraz punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono również okrąg o środku w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu, przechodzący przez punkt A.

RCKT6TUqD7FqZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty. Punkt A o współrzędnych nawias dwa średnik trzy koniec nawiasu, punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz punkt A prim o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono również okrąg o środku w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu, przechodzący przez punkt A oraz punkt A prim.

Niech punkt $A$ ma współrzędne $\left(x,y\right)$. Zrzutujemy teraz punkty $A$ i $A\text{'}$ (obraz punktu $A$ w symetrii względem początku układu współrzędnych) na oś $Y$ pod kątem prostym. Rzuty prostokątne punktów $A$ i $A\text{'}$ na oś $Y$ oznaczmy jako $A_1$ i $A{\text{'}}_1$.

R1axcqi3nYWso

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty. Punkt A o współrzędnych nawias x średnik y koniec nawiasu oraz punkt A prim o współrzędnych nawias minus x średnik minus y koniec nawiasu. Oba punkty zostały zrzutowane na pionową oś Y tworząc tym samym nowe punkty o współrzędnych A indeks dolny jeden koniec indeksu nawias zero średnik y koniec nawiasu oraz punkt A prim indeks dolny jeden koniec indeksu o współrzędnych nawias zero średnik minus y koniec nawiasu.

Wówczas kąty $A_{1}OA$ oraz $A{\text{'}}_{1}OA\text{'}$ mają równe miary jako kąty wierzchołkowe. Poza tym kąty $A{A}_{1}O$ oraz $A\text{'}A{\text{'}}_{1}O$ są proste oraz $\left|OA\right|=\left|OA\text{'}\right|$. Zatem trójkąty $A_{1}OA$ oraz $A{\text{'}}_{1}OA\text{'}$ są przystające. Ponieważ przyprostokątne omawianych trójkątów mają równe długości, więc współrzędne punktu $A\text{'}$ są równe $\left(-x,-y\right)$. Zatem współrzędne obrazu $A\text{'}$ punktu $A$ w symetrii względem początku układu współrzędnych są liczbami przeciwnymi do współrzędnych punktu $A$.

Rozważmy ponownie punkt $A$ o współrzędnych $\left(x,y\right)$. Jego obraz $A\text{'}$ w symetrii względem osi $X$ ma współrzędne $\left(x,-y\right)$. Obraz $A^{\text{'}\text{'}}$ punktu $A^{\text{'}}$ w symetrii względem osi $Y$ ma współrzędne $\left(-x,-y\right)$, czyli takie same jak obraz punktu $A$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Mówimy, że symetria względem punktu $\left(0,0\right)$ jest złożeniem symetrii względem osi $X$ oraz symetrii względem osi $Y$ i piszemy $S_{\left(0,0\right)}=S_X\circ S_Y$. W tym konkretnym przypadku złożenie symetrii względem osi $X$ i symetrii względem osi $Y$ może zostać wykonane w dowolnej kolejności, dając ten sam efekt, więc możemy napisać $S_X\circ S_Y=S_Y\circ S_X=S_{\left(0,0\right)}$, ale ogólnie składanie przekształceń nie jest przemienne.

R12aThuLsNm9f

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także dwa punkty. Punkt A o współrzędnych nawias x średnik y koniec nawiasu, wraz z jego odbiciem względem poziomej osi X punkt A prim o współrzędnych nawias x średnik minus y koniec nawiasu. Oba punkty są ze sobą połączone a utworzony odcinek przechodzi przez poziomą oś X pod kątem prostym.

Rf5TkDw4zku9t

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także trzy punkty. Punkt A o współrzędnych nawias x średnik y koniec nawiasu, jego odbiciem względem poziomej osi X punkt A prim o współrzędnych nawias x średnik minus y koniec nawiasu oraz jego odbicie względem początku układu współrzędnych, punkt A bis o współrzędnych nawias minus x średnik minus y koniec nawiasu. Punkty A i A prim są ze sobą połączone a utworzony odcinek przechodzi przez poziomą oś X pod kątem prostym. Punkty A prim oraz A bis także są ze sobą połączone a utworzony odcinek przechodzi przez pionową oś Y pod kątem prostym.

Obrazem odcinka $AB$ w symetrii względem punktu $\left(0,0\right)$ jest odcinek $A\text{'}B\text{'}$, gdzie $A\text{'}$ i $B\text{'}$ są obrazami punktów $A$ i $B$ względem punktu $\left(0,0\right)$:

R1biktvl3ZyNA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie współrzędnych zaznaczono pięć punktów połączonych odcinkiem oraz ich odbicia względem początku układu współrzędnego, czyli punktu O, o współrzędnych nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Punkt A nawias jeden średnik cztery koniec nawiasu oraz jego odbicie A prim nawias minus jeden średnik minus cztery. Punkt K nawias jeden przecinek siedem średnik trzy przecinek dwa koniec nawiasy oraz jego odbicie punkt K prim nawias minus jedne przecinek siedem średnik minus trzy przecinek dwa koniec nawiasu. Punkt L nawias dwa przecinek pięć średnik dwa przecinek pięć oraz jego odbicie punkt L prim nawias minus dwa przecinek pięć średnik minus dwa przecinek pięć koniec nawiasu. Punkt M nawias trzy przecinek dwa średnik jeden przecinek osiem koniec nawiasu oraz jego odbicie punkt M prim nawias minus trzy przecinek dwa średnik minus jeden przecinek osiem. Punkt B nawias cztery średnik jeden koniec nawiasu oraz jego odbicie punkt B prim nawias minus cztery średnik minus jeden koniec nawiasu.

R15Hn9Wy5MyZL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie współrzędnych zaznaczono pięć punktów połączonych odcinkiem oraz ich odbicia względem początku układu współrzędnego, czyli punktu O, o współrzędnych nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Punkt A nawias jeden średnik cztery koniec nawiasu oraz jego odbicie A prim nawias minus jeden średnik minus cztery. Punkt K nawias jeden przecinek siedem średnik trzy przecinek dwa koniec nawiasy oraz jego odbicie punkt K prim nawias minus jedne przecinek siedem średnik minus trzy przecinek dwa koniec nawiasu. Punkt L nawias dwa przecinek pięć średnik dwa przecinek pięć oraz jego odbicie punkt L prim nawias minus dwa przecinek pięć średnik minus dwa przecinek pięć koniec nawiasu. Punkt M nawias trzy przecinek dwa średnik jeden przecinek osiem koniec nawiasu oraz jego odbicie punkt M prim nawias minus trzy przecinek dwa średnik minus jeden przecinek osiem. Punkt B nawias cztery średnik jeden koniec nawiasu oraz jego odbicie punkt B prim nawias minus cztery średnik minus jeden koniec nawiasu. Wszystkie symetryczne punkty w trzeciej ćwiartce także zostały połączone odcinkiem.

Przykład 1

Rozważmy punkty $A\left(6,0\right)$, i $C\left(2,-3\right)$. Znajdziemy obraz trójkąta $ABC$ o symetrii względem punktu $\left(0,0\right)$.

RcuK0z19rbJLl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także trzy punkty A B C tworzące trójkąt o współrzędnych. Wierzchołek A, nawias sześć średnik zero koniec nawiasu. Wierzchołek B nawias minus cztery średnik trzy koniec nawiasu. Wierzchołek C, nawias dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono także obraz trójkąta A B C względem początku układu współrzędnych, czyli punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Powstał nowy trójkąt A pirm B prim C prim. Wierzchołek A prim nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu. Wierzchołek B prim, nawias cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Wierzchołek C nawias minus dwa średnik trzy koniec nawiasu.

Aby znaleźć obraz wielokąta w symetrii wystarczy znależć obraz wierzchoków tego wielokąta. Mamy zatem $A\text{'}\left(-6,0\right)$, $B\text{'}\left(4,-3\right)$ i $C\text{'}\left(-2,3\right)$.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie obrazu $F\text{'}$ figury $F$ o równaniu $\left|2x-3\right|+\left|y+2\right|=2$ w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Niech punkt $X=\left(x,y\right)$ będzie dowolnym punktem figury $F$. Wówczas jego obraz $X\text{'}$ w symetrii względem punktu $\left(0,0\right)$ ma współrzędne $\left(x\text{'},y\text{'}\right)=\left(-x,-y\right)$. Stąd $x=-x\text{'}$ i $y=-y\text{'}$, co po podstawieniu do równania figury $F$ daje równanie figury $F\text{'}:\left|2\left(-x\text{'}\right)-3\right|+\left|-y\text{'}+2\right|=2$. Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy równanie $\left|2x\text{'}+3\right|+\left|y\text{'}-2\right|=2$. Otrzymaliśmy związek między współrzędnymi $\left(x\text{'},y\text{'}\right)$ punktów należących do figury $F\text{'}$. Dokładnie ten sam zbiór punktów opisuje równanie $\left|2x+3\right|+\left|y-2\right|=2$.

W prostokątnym układzie współrzędnym narysujemy figury $F$ i $F\text{'}$:

R1TgmCPjuaPR2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także cztery punkty A B C D tworzące trójkąt o współrzędnych. Wierzchołek A, nawias dwa średnik zero koniec nawiasu. Wierzchołek B nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu. Wierzchołek C, nawias dwa średnik minus cztery koniec nawiasu. Wierzchołek D, nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono także obraz rombu A B C D względem początku układu współrzędnych, czyli punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Powstał nowy romb A pirm B prim C prim D prim. Wierzchołek A prim nawias minus dwa średnik zero koniec nawiasu. Wierzchołek B prim, nawias minus trzy średnik dwa koniec nawiasu. Wierzchołek C nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu. Wierzchołek D prim nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu.

Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:

Jeśli figura $F$ opisana jest równaniem $f\left(x, y\right)=0$, to obraz $F\text{'}$ figury $F$ przez symetrię względem punktu $\left(0,0\right)$ opisuje się równaniem $f\left(-x,-y\right)=0$. Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej $x$ podstawić $\left(-x\right)$, zaś w miejsce zmiennej $y$ wstawić $\left(-y\right)$.

Zauważmy jeszcze, że symetria w punkcie jest izometrią i inwolucjąinwolucjainwolucją.

Przykład 3

Rozważmy trójkąt $ABC$ oraz jego obraz $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ względem osi $X$.

RK55jhK3RUIof

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także trzy punkty A B C tworzące trójkąt o współrzędnych. Wierzchołek A, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek B nawias trzy średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek C, nawias trzy średnik dwa koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono także obraz trójkąta A B C względem poziomej osi X. Powstał nowy trójkąt A pirm B prim C prim. Wierzchołek A prim nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu. Wierzchołek B prim, nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu. Wierzchołek C nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu.

Zauważmy, że, wymieniając wierzchołki trójkąta $ABC$ w kolejności alfabetycznej, podajemy je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zaś wymieniając obrazy $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ punktów $A$, $B$, $C$ w symetrii względem osi $X$, podajemy wierzchołki trójkąta $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Mówimy, że symetria względem osi $X$ zmienia orientację płaszczyzny. Ogólnie: symetria względem dowolnej prostej zmienia orientację płaszczyzny.

Rozważmy teraz trójkąt $ABC$ oraz jego obraz $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ względem punktu $\left(0,0\right)$. Tym razem wymieniając wierzchołki trójkąta $ABC$ oraz ich obrazy, podajemy je w “tym samym kierunku”. Mówimy, że symetria względem punktu nie zmienia orientacji płaszczyzny.

RhfouXfU6HYFn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także trzy punkty A B C tworzące trójkąt o współrzędnych. Wierzchołek A, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek B nawias trzy średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek C, nawias trzy średnik dwa koniec nawiasu. . Na ilustracji zaznaczono także obraz trójkąta A B C względem początku układu współrzędnych, czyli punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Powstał nowy trójkąt A pirm B prim C prim. Wierzchołek A prim nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu. Wierzchołek B prim, nawias minus trzy średnik minus jeden koniec nawiasu. Wierzchołek C nawias minus trzy średnik minus dwa koniec nawiasu.

Wynika to z twierdzenia, którego szczegółowy dowód tu pominiemy (Twierdzenie: złożenie dwóch (parzyście wielu) przekształceńzłożenie przekształceńzłożenie dwóch (parzyście wielu) przekształceń zmieniających orientację płaszczyzny jest przekształceniem niezmieniającym orientacji płaszczyzny) oraz faktu, że symetria względem punktu jest złożeniem dwóch symetrii względem prostych.

Słownik