Przeczytaj
W tej lekcji zajmiemy się głównie dowodzeniem twierdzeń.
Udowodnimy, że dla dowolnej liczby całkowitej liczba jest parzysta.
Sprawdźmy najpierw na kilku przykładach, czy teza tego twierdzenia jest spełniona:
Liczba całkowita | Wartość wyrażenia | Odpowiedź |
---|---|---|
We wszystkich sprawdzonych przypadkach teza jest spełniona, ale nawet gdybyśmy sprawdzili dużo więcej liczb naturalnych , nie byłby to dowód twierdzenia.
Potrzebujemy rozważania ogólnego.
Dowód:
Zauważmy, że , co oznacza, że jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych.
Ponieważ co druga liczba całkowita jest parzysta, więc dokładnie jedna z liczb i jest podzielna przez .
Iloczyn liczby parzystej przez dowolną liczbę całkowitą jest parzysty, zatem liczba również jest parzysta.
Udowodnimy, że dla dowolnej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez .
Ponownie sprawdzimy tezę twierdzenia dla kilku liczb całkowitych :
Liczba całkowita | Wartość wyrażenia | Odpowiedź |
---|---|---|
Dla rozważanych liczb teza jest spełniona. Potrzebujemy jednak dowodu.
Dowód:
Zauważmy, że – przy tym przekształceniu skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia .
Zatem rozważane wyrażenie jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych: , , .
Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych przynajmniej jedna jest parzysta (albo jest to liczba , albo liczby i ).
Ponadto wśród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna dzieli się przez .
Ponieważ liczby i są względnie pierwsze, to iloczyn liczb, z których jedna jest podzielna przez i jedna jest podzielna przez , dzieli się przez .
Udowodnimy, że równanie nie jest spełnione przez żadną liczbę całkowitą.
Dowód:
Zauważmy, że podane równanie można przekształcić do postaci .
Dla dowolnej liczby całkowitej lewa strona równania jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, co oznacza, że jest podzielna przez .
Prawa strona równania nie dzieli się przez , zatem otrzymujemy sprzeczność, bo liczba podzielna przez nie może być równa liczbie niepodzielnej przez .
Oznacza to, że wyjściowe równanie nie jest spełnione przez żadną liczbę całkowitą.
Powyższe równanie jest przykładem równania diofantycznegorównania diofantycznego, czyli równania, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych (lub jego podzbiorach). Równania diofantyczne swoją zawdzięczają greckiemu matematykowi z III wieku n.e. DiofantosDiofantos jest znany głównie ze swojego dzieła Arytmetyka, w którym opisywał sposoby rozwiązywania równań i zadań tekstowych prowadzących do równań.
Uważany jest za ojca języka algebraicznego, choć swoje zadania rozwiązywał głównie opisowo.
Wykażemy, że różnica czwartych potęg dwóch liczb całkowitych różniących się o jest podzielna przez .
Dowód:
Mamy do wykazania, że dla dowolnej liczby całkowitej , dzieli się przez .
Korzystając ze wzoru możemy wykonać następujące przekształcenia
Korzystając ze wzoru:
możemy kontynuować przekształcanie:
Zauważmy teraz, że jeśli jest liczbą nieparzystą, to liczba jest liczbą parzystą.
Zaś jeśli jest liczbą parzystą, to jest liczbą parzystą.
Zatem niezależnie od parzystości liczby któryś z nawiasów lub jest parzysty. Iloczyn liczby parzystej i liczby jest podzielny przez .
Iloczyn kolejnych liczb naturalnych począwszy od liczby do liczby oznaczamy i czytamy silniasilnia
.
Na przykład: , , .
Udowodnimy, że liczba dzieli się przez .
Dowód:
Liczba to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od do .
Wśród czynników znajdują się liczby , , , i oraz liczby , i .
Iloczyn wybranych czynników to .
Ponieważ spośród czynników liczby można wybrać takie, których iloczyn jest równy liczbie , która jest podzielna przez , więc liczba również jest podzielna przez .
Udowodnimy, że liczba jest podzielna przez .
Dowód:
Wykonajmy następujące przekształcenia:
Ponieważ liczba jest całkowita, więc iloczyn jest liczbą podzielną przez .
Słownik
grecki matematyk żyjący w Aleksandrii w III w n.e; znany głównie ze swojego dzieła w księgach zwanego Arytmetyka, w którym opisuje zagadnienia związane z rozwiązywaniem równań
równanie, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych (lub jego podzbiorach)
działanie jednoargumentowe, które liczbie naturalnej dodatniej przyporządkowuje iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich niewiększych od danej liczby, ponadto liczbie zero przyporządkowuje liczbę ; silnię oznaczamy wykrzyknikiem: ; czytamy “ silnia”; zatem , , dla liczb naturalnych większych od