Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona za pomocą wzoru $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2$. Wyznaczymy liczbę rozwiązań równania $f\left(x\right)=m$, w zależności od parametru $m\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie:

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RQ6mXAtBtRbTF

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2$, czyli parabolę o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych do dołu.

Równanie $f\left(x\right)=m$, gdy $m\in \mathrm{ℝ}$. ma:

• dwa rozwiązania dla $m\in \left(-\infty , 0\right)$,

• jedno rozwiązanie dla $m=0$,

• zero rozwiązań dla $m\in \left(0, \infty \right)$.

Podana liczba rozwiązań równania $f\left(x\right)=m$ odpowiada liczbie punktów wspólnych prostej $y=m$, gdzie $m\in \mathrm{ℝ}$ z parabolą, będącą wykresem funkcji $f$.

Wiadomo, że wierzchołki trapezu $ABCD$ (patrz rysunek)  należą do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=-2x^2$, a podstawy są zawarte w prostych o równaniach $g\left(x\right)=-2$ i $h\left(x\right)=-4$. Wyznaczymy pole tego trapezu.

RBSH2EEuUumhs

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, oraz prostą g o równaniu y, równa się minus dwa, i prostą h, o równaniu y, równa się, minus cztery . Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych, a ramiona skierowane są do dołu. Zaznaczono punkty przecięcia paraboli z prostymi. Ramiona paraboli przecinają prostą g w punkcie A o współrzędnych $\left(-1;-2\right)$, oraz punkcie B o współrzędnych $\left(1;-2\right)$. Ramiona paraboli przecinają prostą h w punkcie C, oraz D. Zamalowano obszar trapezu ograniczonego punktami A, B, C, D.

Rozwiązanie:

Wykorzystamy wzór na pole trapezu $P=\frac{1}{2}·\left(a+b\right)·h$

Mamy:

$a=\left|DC\right|$,

$b=\left|AB\right|$,

$h=2$.

W celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów $C$ i $D$ wyznaczymy punkty wspólne paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oraz prostej, będącej wykresem funkcji $h$.

Rozwiązujemy równanie:

$f\left(x\right)=h\left(x\right)$, czyli $-2x^2=-4$.

Zatem $x^2=2$, czyli $x=-\sqrt{2}$ lub $x=\sqrt{2}$.

Długość podstawy trapezu $a$ jest równa odległości pomiedzy tymi punktami, więc

$a=\left|CD\right|=2\sqrt{2}$.

W celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów $A$ i $B$, wyznaczymy punkty wspólne paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ oraz prostej, będącej wykresem funkcji $g$.

Rozwiązujemy równanie:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$, czyli $-2x^2=-2$

Zatem $x^2=1$, czyli $x=-1$ lub $x=1$.

Długość podstawy trapezu $b$ jest równa odległości pomiedzy tymi punktami, zatem

$b=\left|AB\right|=2$

Pole trapezu $ABCD$ wynosi

$P=\frac{1}{2}·\left(2\sqrt{2}+2\right)·2=2\sqrt{2}+2$

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=2x^2$ oraz prostej określonej wzorem $g\left(x\right)=4$.

R1B6sN1izdKTP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, oraz prostą g o równaniu y, równa się, cztery. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie O, o współrzędnych $\left(0;0\right)$, a ramiona paraboli skierowane są do góry. Zaznaczono punkty A i B, które stanowią miejsca przecięcia ramion paraboli z prostą g. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, B, O.

Wyznaczymy pole trójkąta $OAB$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że punkty $A$ i $B$ są punktami przecięcia paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ z prostą, będącą wykresem funkcji $g$.

Do wyznaczenia ich pierwszych współrzędnych rozwiązujemy równanie $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Zatem $2x^2=4$, więc $x=-\sqrt{2}$ lub $x=\sqrt{2}$.

Długość odcinka $AB$ jest odległością pomiędzy punktami $A$ i $B$ i wynosi $\left|AB\right|=2\sqrt{2}$.

Odcinek $AB$ jest podstawą trójkąta $OAB$, a wysokość tego trójkąta wynosi $4$, zatem pole trójkąta jest równe:

$P=\frac{1}{2}·2\sqrt{2}·4=4\sqrt{2}$

Określimy liczbę rozwiązań układów równań:

a) $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ x=3\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=-3\end{array}\right.$

Rozwiązanie:

a) Rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x\end{array}\right.$ są punkty wspólne paraboli i prostej. Układ ten możemy sprowadzić do jednego równania:

$x^2=x$, zatem $x^2-x=0$.

Równanie zapisujemy w postaci $x\left(x-1\right)=0$, więc $x=0$ lub $x=1$.

Po podstawieniu do jednego z równań z układu równań mamy: $y=0$ lub $y=1$.

Zatem parabola i prosta mają dwa punkty wspólne o współrzędnych $\left(0, 0\right)$ oraz $\left(1, 1\right)$.

b) Rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ x=3\end{array}\right.$ są punkty wspólne paraboli i prostej.

Jeżeli $x=3$, to $y=9$.

Zatem parabola i prosta mają dokładnie jeden punkt wspólny o współrzędnych $\left(3, 9\right)$.

c) Rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=-3\end{array}\right.$ są punkty wspólne paraboli i prostej. Układ ten możemy sprowadzić do jednego równania:

$x^2=-3$

Równanie nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych, zatem parabola i prosta nie mają punktów wspólnych.

Punkty o współrzędnych $S=\left(0, 0\right)$, $A=\left(x, 2\right)$ oraz $B=\left(-x, 2\right)$ należą do wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$. Wyznaczymy wzór tej funkcji, jeżeli wiadomo, że pole trójkąta $ASB$ jest równe $3$.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania:

R1SDq8Eg5fzeF

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o wierzchołku w punkcie S, o współrzędnych $\left(0;0\right)$ i ramionach skierowanych w górę. Zaznaczono punkty A i B, leżące na ramionach paraboli. Współrzędna y obu punktów jest równa dwa. Zamalowano obszar trójkąta ograniczonego punktami A, B, S.

W celu wyznaczenia wzoru funkcji kwadratowej wyznaczymy najpierw współrzędne punktów $A$ i $B$.

Zauważmy, że wysokość trójkąta wynosi $2$.

Po podstawieniu tej wartości do wzoru na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$ otrzymujemy równanie:

$3=\frac{1}{2}\cdot c\cdot 2$, zatem $c=3$

Długość podstawy $AB$ jest równa odległości pomiędzy pierwszymi współrzędnymi punktów $A$ i $B$.

Jeżeli $\left|AB\right|=c=3$ oraz $\left|AB\right|=2x$, zatem $2x=3$, czyli $x=\frac{3}{2}$.

Punkty $A$ i $B$ mają współrzędne odpowiednio:

$A=\left(\frac{3}{2}, 2\right)$

$B=\left(-\frac{3}{2}, 2\right)$

Zatem w celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ ze wzoru funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2$, podstawiamy współrzędne punktu $A$ i rozwiązujemy równanie:

$2=a·{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$, zatem $a=\frac{8}{9}$.

Wzór funkcji kwadratowej zapisujemy w postaci $f\left(x\right)=\frac{8}{9}{x}^2$.

Podamy dziedzinę oraz wzór funkcji opisującej pole prostokątnej działki w zależności od długości przekątnej $d$, jeżeli wiadomo, że działkę można podzielić na $3$ kwadraty.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R5gwJZWj96zus

Na ilustracji przedstawiono połączone ze sobą trzy kwadraty o boku długości a. Powstał trójkąt, w którym zaznaczono przekątną d.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(3a\right)}^2+a^2=d^2$

Zatem $d^2=10a^2$, czyli $a^2=\frac{1}{10}{d}^2$.

Pole działki wynosi:

$P=3a·a=3a^2$

Wobec tego funkcja $f$ opisująca pole prostokątnej działki, w zależności od długości przekątnej $d$ jest określona za pomocą wzoru:

$f\left(d\right)=3·\frac{1}{10}{d}^2=\frac{3}{10}{d}^2$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

funkcja określona wzorem

gdzie:
$a, b, c\in \mathrm{ℝ}$, $a\ne 0$ oraz $x\in \mathrm{ℝ}$