Przeczytaj

Przypomnijmy

Funkcję postaci $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniowąfunkcja liniowafunkcją liniową, „ $a$ ” nazywamy współczynnikiem kierunkowym, „ $b$ ” – wyrazem wolnym.

Wykresem funkcji $y = a x + b$ , gdzie $x \in ℝ$ , jest prosta przecinająca oś $Y$ w punkcie $(0, b)$ i nachylona do osi $X$ pod takim kątem $α$ , że $tg α = a$ .

Wykres funkcji liniowej sporządzamy zazwyczaj tak, że znajdujemy jego punkty wspólne z osiami układu współrzędnych, a następnie prowadzimy przez nie prostą.

Dla funkcji $y = a x + b$ , $a \neq 0$ , są to punkty: $A = (- \frac{b}{a}, 0)$ i $B = (0, b)$ .

Funkcja $y = a x + b$ jest rosnąca, $a > 0$ .
R1FQXSKNV9mRG
$y < 0$ dla $x \in (- \infty, x_{0})$ , $y > 0$ dla $x \in (x_{0}, \infty)$ .

Funkcja $y = a x + b$ jest malejąca, $a < 0$ .
R1O0XoMfplJy3
$y < 0$ dla $x \in (x_{0}, \infty)$ , $y > 0$ dla $x \in (- \infty, x_{0})$ .

Funkcja $y = a x + b$ jest stała, $a = 0$ .
R16A8vDuOmkmH
$y < 0$ gdy $b < 0$ dla $x \in ℝ$ , $y > 0$ gdy $b > 0$ dla $x \in ℝ$ .

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji liniowej, do wykresu której należą punkty: $M = (20, 100)$ oraz $N = (60, 300)$ .

Mamy podane współrzędne dwóch punktów, ale trudno je umieścić w układzie współrzędnych, w związku z tym musimy znaleźć wzór funkcji i na jego podstawie narysować wykres szukanej funkcji.

Jeżeli punkt $M = (20, 100)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$100 = a \cdot 20 + b$ .

Jeżeli punkt $N = (60, 300)$ należy do wykresu funkcji liniowej $y = a x + b$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$300 = a \cdot 60 + b$

otrzymujemy dwa równania: $100 = 20 a + b$ i $300 = 60 a + b$ .

Wyznaczając „ $b$ ” z pierwszego równania: $b = 100 - 20 a$ i podstawiając do drugiego otrzymujemy:

$300 = 60 a + 100 - 20 a \Rightarrow 200 = 40 a$ stąd $a = 5$

$b = 100 - 20 a$ więc $b = 100 - 100 = 0$

$a = 5$ i $b = 0$ więc $y = 5 x$ jest to prosta, której wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Wybieramy dwa punkty, które umożliwią nam narysowanie wykresu funkcji: $A = (0, 0)$ i $B = (1, 5)$ .

R1W0qHnzL0Qx9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą rosnącą. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych w punkcie A, oraz ma zaznaczony punkt B o współrzędnych 1;5.

Przykład 2

Narysujemy wykres funkcji liniowej mając dane jej miejsce zerowe $x_{0} = - \frac{1}{2}$ i punkt $B = (0, - 2)$ , przez który przechodzi wykres tej funkcji.

Z treści zadania wynika, że mamy podane punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych: $A = (- \frac{1}{2}, 0)$ i $B = (0, - 2)$ .

R1Y22tXVwoLMw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową osią Y od minus 2 do dwóch. Zaznaczono na nim prostą rosnącą o punktach o współrzędnych A Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech i pionową Y od minus 1 do pięciu. Zaznaczono prostą rosnącą. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych w punkcie A, oraz ma zaznaczony punkt B o współrzędnych 1;5. , B 0;-2.

Przykład 3

Narysujemy wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji liniowej, wiedząc, że jest on równoległy do wykresu funkcji $y = - \frac{1}{3} x - 6$ i że przechodzi on przez punkt $P = (3, 1)$ . Podamy miejsce zerowe tej funkcji a następnie obliczymy pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych.

Jeśli proste $y = a x + b$ i $y = c x + d$ są równoległe, to $a = c$ .

Prosta $y = a x + b$ jest równoległa do prostej $y = - \frac{1}{3} x - 6$ więc $a = - \frac{1}{3}$ .

Równanie naszej prostej przyjmuje postać: $y = - \frac{1}{3} x + b$ .

Ponieważ wykres przechodzi przez punkt $P = (3, 1)$ to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie:

$y = - \frac{1}{3} x + b$

$1 = (- \frac{1}{3}) \cdot 3 + b$

$1 = - 1 + b$

$b = 2$

$b = 2$ więc mamy punkt przecięcia z osią $Y$ : $A = (0, 2)$ . Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty $P = (3, 1)$ i $A = (0, 2)$ :

R1Bwy3vPFunTC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 3 do pięciu i pionową osią Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez punkty. A 0;2, P 3;1.

Aby obliczyć pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji i osiami układu współrzędnych potrzebujemy punktu przecięcia z osią $X$ : $(x_{0}, 0)$ .

Miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji możemy obliczyć ze wzoru:

$x_{0} = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{(- \frac{1}{3})} = 6$ .

Pole powstałego trójkąta obliczamy ze wzoru:

$P = \frac{1}{2} c \cdot d$ , gdzie $c$ i $d$ to długości przyprostokątnych otrzymanego trójkąta.

$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ .

Przykład 4

Narysujemy wykres funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt $M = (- 2, 3)$ i która przyjmuje wartości dodatnie tylko w przedziale $(- \infty, 1)$ , zaś wartości ujemne tylko w przedziale $(1, + \infty)$ .

Funkcja $y = a x + b$ przyjmuje wartości dodatnie w przedziale $(- \infty, 1)$ , zaś ujemne w przedziale $(1, + \infty)$ , oznacza to, że $x_{0} = 1$ jest miejscem zerowym tej funkcji.

$x_{0} = 1$ , więc mamy punkt przecięcia z osią $X$ : $A = (1, 0)$

Rysujemy wykres funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $M = (- 2, 3)$ i $A = (1, 0)$ :

RDRpnh9PbI0QI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 4 do czterech oraz osią pionową Y od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą przechodzącą przez dwa punkty M o współrzędnych -2;3, oraz A o współrzędnych 1;0.

Słownik

funkcja liniowa

funkcja postaci $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ są danymi liczbami rzeczywistymi, „ $a$ ” nazywamy współczynnikiem kierunkowym, „ $b$ ” – wyrazem wolnym

wykres funkcji

wykresem funkcji $y = a x + b$ , $x \in ℝ$ jest prosta przecinająca oś $Y$ w punkcie $(0, b)$ i nachylona do osi $X$ pod takim kątem $α$ , że $tg α = a$

miejsce zerowe funkcji

taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero

Wprowadzenie

Animacja

Przypomnijmy

Słownik