Równanie, w którym występują dwie niewiadome i obie występują w pierwszej potędze, przy czym współczynnik przy przynajmniej jednej z niewiadomych jest różny od zera, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Każda para liczb, która spełnia równanie $ax+by+c=0$para liczb spełniająca równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymipara liczb, która spełnia równanie $ax+by+c=0$, gdzie $a^2+b^2\ne 0$, jest rozwiązaniem tego równania.

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $\left(x, y\right)$, których współrzędne spełniają to równanie.

Określimy, dla jakich wartości parametru $m\in \mathrm{ℝ}$ wykresem równania

$\left(m^2-1\right)x+\left(m^2-m\right)y+4=0$

jest prosta, która nie jest równoległa do żadnej osi układu współrzędnych,  przecinająca oś $X$ w dokładnie jednym punkcie.

Jeśli $a\ne 0$ i $b\ne 0$, to:

• równanie $ax+by+c=0$ możemy zapisać w postaci $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$,

• wykresem jest prosta, która przecina oś $X$ w dokładnie jednym punkcie.

Przeanalizujmy równanie

$\left(m^2-1\right)x+\left(m^2-m\right)y+4=0$.

Równanie to jest równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi dla $m\ne 1$.

$a=m^2-1=\left(m+1\right)\left(m-1\right)$, a zatem $a\ne 0\iff m\ne -1$ i $m\ne 1$.

$b=m^2-m=m\left(m-1\right)$, a zatem $b\ne 0\iff m\ne 0$ i $m\ne 1$.

Stąd wykresem równania $\left(m^2-1\right)x+\left(m^2-m\right)y+4=0$ jest prosta, która nie jest równoległa do żadnej  osi ukladu współrzędnych,  przecinająca oś $X$ w dokładnie jednym punkcie,  dla $m\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\mathrm{1,} 0, 1\right\}$.

Określmy, dla jakich wartości parametru $m\in \mathrm{ℝ}$ wykresem równania

$\left(m^2-4\right)x+my-12=0$

jest prosta równoległa do osi $X$.

Wiemy, że:

Jeśli $a=0$ i $b\ne 0$, to:

• równanie $ax+by+c=0$ możemy zapisać w postaci $y=-\frac{c}{b}$,

• wykresem jest prosta, która jest równoległa do osi $X$.

W równaniu

$\left(m^2-4\right)x+my-12=0$.

$a=m^2-4=\left(m+2\right)\left(m-2\right)$, a zatem $a=0\iff m=-2$ lub $m=2$.

$b=m$, a zatem $b\ne 0\iff m\ne 0$.

Stąd wykresem równania $\left(m^2-4\right)x+my-12=0$ jest prosta równoległa do osi $X$ dla $m\in \left\{-\mathrm{2,} 2\right\}$.

Określmy dla jakich wartości parametru $m\in \mathrm{ℝ}$ wykresem równania

$\left(m-3\right)x+\left(m^2-9\right)y=0$

jest prosta równoległa do osi $Y$.

Równanie jest równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi dla $m\ne 3$.

Wiemy, że:

Jeśli $a\ne 0$ i $b=0$, to:

• równanie $ax+by+c=0$ możemy zapisać w postaci $x=-\frac{c}{a}$,

• wykresem jest prosta, która jest równoległa do osi $Y$.

W równaniu

$\left(m-3\right)x+\left(m^2-9\right)y=0$.

$a=m-3$, a zatem $a\ne 0\iff m\ne 3$.

$b=m^2-9=\left(m+3\right)\left(m-3\right)$, a zatem $b=0\iff m=-3$ i $m=3$.

Stąd wykresem równania $\left(m-3\right)x+\left(m^2-9\right)y=0$ jest prosta równoległa do osi $Y$ dla $m=-3$.

równanie, w którym występują dwie niewiadome i obie występują w pierwszej potędze, przy czym współczynnik przy przynajmniej jednej z niewiadomych jest różny od zera.

para liczb, po podstawieniu której do równania w miejsce niewiadomych, otrzymamy równość prawdziwą

zbiór wszystkich punktów $\left(x, y\right)$, których współrzędne spełniają to równanie

prosta, będąca wykresem tego równania