Przeczytaj

Sprawdzimy, które równanie z występujących w poniższych przykładach spełnia liczba $2$ .

Przykład 1

3 x - 1 = x + 3

Do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

L = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5

P = 2 + 3 = 5

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmuje tę samą wartość. Oznacza to, że liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania.

L = P

Przykład 2

- 2 \cdot (x - 2) = - 2 x + (1 - 2 x)

Do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczymy wartość wyrażenia arytmetycznego.

L = - 2 \cdot (2 - 2) = - 2 \cdot 0 = 0

P = - 2 \cdot 2 + (1 - 2 \cdot 2) = - 4 + (1 - 4) = - 4 - 3 = - 7

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmują różne wartości. Oznacza to, że liczba $2$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

L \neq P

Przykład 3

3 - 2 x = \frac{x}{2} - 2

Podobnie jak w poprzednich przykładach do lewej i prawej strony równania podstawimy w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$ i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

L = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = - 1

P = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = - 1

Okazało się, że dla $x = 2$ lewa i prawa strona równania przyjmuje tę samą wartość. Oznacza to, że liczba $2$ jest rozwiązaniem tego równania.

L = P

Równania:

$3 x - 1 = x + 3$ i $3 - 2 x = \frac{x}{2} - 2$ spełnia liczba $2$ . Równania te mają taki sam zbiór rozwiązań.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi, które posiadają taką samą dziedzinę są równoważne wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Rozwiązać równanie oznacza znaleźć wszystkie liczby, które je spełniają lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu zapisujemy równania równoważne danemu, pamiętając o tym, że:

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $\frac{1}{2} x - 3 = 2 \cdot (x + 1)$ metodą równań równoważnych.

\frac{1}{2} x - 3 = 2 \cdot (x + 1)

Najpierw pozbędziemy się nawiasu.

\frac{1}{2} x - 3 = 2 x + 2

Od obu stron równania odejmiemy jednomian $2 x$ .

\frac{1}{2} x - 2 x - 3 = 2

Redukujemy wyrazy podobne.

- 1 \frac{1}{2} x - 3 = 2

Do obu stron równania dodamy liczbę $3$ .

- 1 \frac{1}{2} x - 3 + 3 = 2 + 3

Redukujemy wyrazy podobne.

- 1 \frac{1}{2} x = 5

Podzielimy obie strony równania przez liczbę $- 1 \frac{1}{2}$ .

- 1 \frac{1}{2} x = 5 | : (- 1 \frac{1}{2})

x = 5 : (- \frac{3}{2})

x = 5 \cdot (- \frac{2}{3})

x = - \frac{10}{3}

x = - 3 \frac{1}{3}

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 3 \frac{1}{3})$ .

Przykład 5

Sprawdzimy, czy równania $2 x - 3 \cdot (1 - x) = 4$ i $4 x - 2 = 5 - x$ są równoważne.

Aby równania były równoważnerównania równoważnerównania były równoważne muszą mieć ten sam zbiór rozwiązań.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem pierwszego równania metodą równań równoważnych.

2 x - 3 \cdot (1 - x) = 4

2 x - 3 + 3 x = 4

5 x - 3 = 4

5 x = 4 + 3

5 x = 7 | : 5

x = \frac{7}{5}

x = 1 \frac{2}{5}

Teraz rozwiążemy drugie równanie metodą równań równoważnych.równania równoważnerównań równoważnych.

4 x - 2 = 5 - x

4 x + x - 2 = 5

5 x - 2 = 5

5 x = 5 + 2

5 x = 7 | : 5

x = \frac{7}{5}

x = 1 \frac{2}{5}

Liczba $1 \frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem obu równań liniowych. Równania te nie posiadają innych rozwiązań, poza liczbą $1 \frac{2}{5}$ . Zatem równania te posiadają ten sam zbiór rozwiązań, czyli są równoważne.

Słownik

równania równoważne

równania z tymi samymi niewiadomym, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań

Wprowadzenie

Infografika

Słownik