Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnimy teraz podstawowe wzory logarytmiczne, z których będziemy korzystać.

Podstawowe założenia
a>0, a1, b>0, b1, x>0, y>0, p

Nazwa wzoru

Wzór

logarytm iloczynu

loga(xy)=logax+logay

logarytm ilorazu

logaxy=logaxlogay

logarytm potęgi

logaxp=plogax

logarytm pierwiastka

logaxn=1nlogax, gdy n>1n

zmiana podstawy logarytmu

logbx=logaxlogab

Analizując przykłady zamieszczone w tym materiale, staraj się znaleźć jeszcze inne, prostsze sposoby rozwiązania postawionych problemów, niż podane poniżej.

Przekształcając wyrażenia logarytmiczne, w Przykładzie 1 pokażemy zastosowanie wzoru na logarytm potęgi, zmianę podstawy logarytmu i logarytm iloczynu.

Przykład 1

Wiedząc, że log122=k, obliczymy log616. Zauważmy, że logarytmy zapisane w treści zadania mają różne podstawy. Możemy więc spróbować oba logarytmy sprowadzić do tej samej podstawy, przekształcać oba logarytmy lub jeden z nich.

Wybraliśmy jeden z klasycznych sposobów, przekształcania obu logarytmów, może nie najefektywniejszy, ale często wykorzystywany.

Krok 1
Zapisujemy log616 w takiej postaci, aby liczba logarytmowana była jak najmniejsza:

log616=log624=4log62.

Krok 2
Teraz zapiszemy log122 za pomocą log62:

log122=log62log612=log62log66+log62=log621+log62.

Ponieważ log122=k, zatem

log621+log62=k.

Krok 3
Z otrzymanej równości wyznaczamy log62:

log62=k1+log62

log62(1-k)=k.

Krok 4
Zapisujemy log616 za pomocą liczby k:

log616=4log62=4k1k.

Odpowiedź:
log616=4k1k.

Wzory na logarytm iloczynu lub logarytm ilorazu często stosowane są w związku z zagadnieniami dotyczącymi ciągów liczbowych. Oto przykład prostego zadania tego typu.

Przykład 2

Liczby log2, log2x, log4 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczbę x. Wiemy, że w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Stąd:
log2x=log2+log42.

Ze wzoru na logarytm iloczynu oraz ze wzoru na logarytm potęgi otrzymujemy:
2log2x=log8
log22x=log8.

Czyli:
22x=23
x=32

Odpowiedź:
Szukana liczba jest równa x=32.

Przed nami trzy zadania „na dowodzenie”, bazujące na przekształceniach logarytmicznych.

Przykład 3

Wykażemy, że istnieją dokładnie dwie liczby spełniające warunek x1logx=102.

Z równości zapisanej w zadaniu wynika, że poszukujemy dwóch liczb dodatnich (x>0) .

Logarytmujemy obie strony rozważanej równości przy podstawie 10:
logx1logx=log102.

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
(1logx)logx=-2log10

Wykonujemy wskazane działania, porządkujemy wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe:
logxlog2x=2
log2xlogx2=0.

Podstawiamy t=logx.

Stąd:
t2t2=0.

Wyznaczamy Δ:
Δ=1+8=9>0.

Równanie ma dwa pierwiastki, które wyznaczamy:
t1=1t2=2.

Zatem:
logx1=1, czyli x1=110>0
logx2=2, czyli x2=100>0.

Obie znalezione liczby są dodatnie, zatem spełniają warunki zadania.
Wykazaliśmy więc, że istnieją dwie liczby spełniające warunek x1logx=102, co kończy dowód.

Przykład 4

Wykażemy, że iloczyn pierwiastków równania log2x·log4x=3log8x+4 jest liczbą naturalną.

Z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem musi być spełniony warunek x>0.
Logarytmy zapisane w równaniu mają różne podstawy. Zatem dla ułatwienia obliczeń, zapiszemy każdy z logarytmów za pomocą logarytmu o podstawie 2 – skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmuwzór na zmianę podstawy logarytmuwzoru na zmianę podstawy logarytmu:
log4x=log2xlog24=12log2x
log8x=log2xlog28=13log2x.

Rozważane równanie ma teraz postać:
12log2x2=log2x+4.

Zapisujemy równanie tak, aby po prawej stronie znaku równości znalazła się liczba 0:
12log2x2-log2x-4=0

Otrzymujemy równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać, oznaczamy: log2x=t.

12t2t4=0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
Δ=1+4·12·4=9>0
t1=2, t2=4.

Stąd
log2x1=2, czyli x1=14>0
log2x2=4, czyli x2=16>0

Obie znalezione liczby są dodatnie, zatem spełniają warunki zadania. Znajdujemy iloczyn pierwiastków równania: 14·16=4,co należało wykazać.

Przykład 5

Wykażemy, że jeśli a>0, b>0, x>0, a1, b1, ab1 to logaxlogbxlogax+logbx=logabba.

Przekształcamy lewą stronę rozważanego wyrażenia, zapisując każdy z logarytmów za pomocą logarytmu dziesiętnego: L=logaxlogbxlogax+logbx=logxlogalogxlogblogxloga+logxlogb.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:
L=logx·logblogx·logaloga·logblogx·logb+logx·logaloga·logb.

Dzielimy i skracamy:
L=logx·logblogx·logalogx·logb+logx·loga.

W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i skracamy:
L=logx(logbloga)logx(logb+loga)=logblogalogb+loga.

Zapisujemy licznik i mianownik ułamka w postaci logarytmu jednomianu (ze wzoru odpowiednio na logarytm ilorazu i logarytm iloczynu):
L=logbalog(ab).

Każdy z logarytmów zapisujemy za pomocą logarytmu o podstawie ab, dzielimy i skracamy:
L=logabbalogab10logabablogab10=logabbalogab10·logab10logabab=logabba1·11
L=logabba=P.

Lewa strona równości równa się prawej stronie, co należało wykazać.

Uwaga
Rozwiąż zadanie przedstawione w Przykładzie 5, sprowadzając od razu lewą stronę równości do logarytmów o podstawie ab. Porównaj oba rozwiązania.

Słownik

wzór na zmianę podstawy logarytmu
wzór na zmianę podstawy logarytmu

jeżeli a>0, a1, b>0, b1c>0, to logbc=logaclogab