Przeczytaj
Przypomnimy teraz podstawowe wzory logarytmiczne, z których będziemy korzystać.
Podstawowe założenia
, , , , , ,
Nazwa wzoru | Wzór |
---|---|
logarytm iloczynu | |
logarytm ilorazu | |
logarytm potęgi | |
logarytm pierwiastka | , gdy i |
zmiana podstawy logarytmu |
Analizując przykłady zamieszczone w tym materiale, staraj się znaleźć jeszcze inne, prostsze sposoby rozwiązania postawionych problemów, niż podane poniżej.
Przekształcając wyrażenia logarytmiczne, w Przykładzie 1 pokażemy zastosowanie wzoru na logarytm potęgi, zmianę podstawy logarytmu i logarytm iloczynu.
Wiedząc, że , obliczymy . Zauważmy, że logarytmy zapisane w treści zadania mają różne podstawy. Możemy więc spróbować oba logarytmy sprowadzić do tej samej podstawy, przekształcać oba logarytmy lub jeden z nich.
Wybraliśmy jeden z klasycznych sposobów, przekształcania obu logarytmów, może nie najefektywniejszy, ale często wykorzystywany.
Krok 1
Zapisujemy w takiej postaci, aby liczba logarytmowana była jak najmniejsza:
.
Krok 2
Teraz zapiszemy za pomocą :
.
Ponieważ , zatem
.
Krok 3
Z otrzymanej równości wyznaczamy :
.
Krok 4
Zapisujemy za pomocą liczby :
.
Odpowiedź:
.
Wzory na logarytm iloczynu lub logarytm ilorazu często stosowane są w związku z zagadnieniami dotyczącymi ciągów liczbowych. Oto przykład prostego zadania tego typu.
Liczby , , są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdziemy liczbę . Wiemy, że w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.
Stąd:
.
Ze wzoru na logarytm iloczynu oraz ze wzoru na logarytm potęgi otrzymujemy:
.
Czyli:
Odpowiedź:
Szukana liczba jest równa .
Przed nami trzy zadania „na dowodzenie”, bazujące na przekształceniach logarytmicznych.
Wykażemy, że istnieją dokładnie dwie liczby spełniające warunek .
Z równości zapisanej w zadaniu wynika, że poszukujemy dwóch liczb dodatnich .
Logarytmujemy obie strony rozważanej równości przy podstawie :
.
Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
Wykonujemy wskazane działania, porządkujemy wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe:
.
Podstawiamy .
Stąd:
.
Wyznaczamy :
.
Równanie ma dwa pierwiastki, które wyznaczamy:
i .
Zatem:
, czyli
, czyli .
Obie znalezione liczby są dodatnie, zatem spełniają warunki zadania.
Wykazaliśmy więc, że istnieją dwie liczby spełniające warunek , co kończy dowód.
Wykażemy, że iloczyn pierwiastków równania jest liczbą naturalną.
Z definicji logarytmu wynika, że liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem musi być spełniony warunek .
Logarytmy zapisane w równaniu mają różne podstawy. Zatem dla ułatwienia obliczeń, zapiszemy każdy z logarytmów za pomocą logarytmu o podstawie – skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmuwzoru na zmianę podstawy logarytmu:
.
Rozważane równanie ma teraz postać:
.
Zapisujemy równanie tak, aby po prawej stronie znaku równości znalazła się liczba :
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać, oznaczamy: .
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
, .
Stąd
, czyli
, czyli
Obie znalezione liczby są dodatnie, zatem spełniają warunki zadania. Znajdujemy iloczyn pierwiastków równania: , co należało wykazać.
Wykażemy, że jeśli , , , , , to .
Przekształcamy lewą stronę rozważanego wyrażenia, zapisując każdy z logarytmów za pomocą logarytmu dziesiętnego: .
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:
.
Dzielimy i skracamy:
.
W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i skracamy:
.
Zapisujemy licznik i mianownik ułamka w postaci logarytmu jednomianu (ze wzoru odpowiednio na logarytm ilorazu i logarytm iloczynu):
.
Każdy z logarytmów zapisujemy za pomocą logarytmu o podstawie , dzielimy i skracamy:
.
Lewa strona równości równa się prawej stronie, co należało wykazać.
Uwaga
Rozwiąż zadanie przedstawione w Przykładzie , sprowadzając od razu lewą stronę równości do logarytmów o podstawie . Porównaj oba rozwiązania.
Słownik
jeżeli , , , i , to