Przekrojem dowolnej bryły płaszczyzną jest figura płaska, która jest częścią wspólną danej bryły i tej płaszczyzny.

Przekroje stożka

Przekrój osiowy stożkastożekstożka

R1djc6MtY0oP1

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 2r i ramionach długości l.

Przekrój poprzeczny stożka

R2MKC7cL6KtGV

Przekrój poprzeczny stożka będący kołem, otrzymujemy w wyniku przecięcia stożka płaszczyzną równoległą do jego podstawy. 

Przekrój stożka będący trójkątem

RKWOV0MCVYFo0

Inne przekroje stożka

R1IKAPD5ui9zi

W wyniku przekroju stożka płaszczyzną przechodzącą przez powierzchnię boczną stożka oraz płaszczyznę jego podstawy (jak na rysunku), otrzymujemy przekrój będący figurą ograniczoną przez parabolę i cięciwę podstawy stożka.

RuYRCuj8EVV7y

W wyniku przekroju stożka płaszczyzną przechodzącą przez powierzchnię boczną stożka (jak na rysunku), otrzymujemy przekrój będący figurą ograniczoną przez elipsę.

Mając dany przekrój stożkastożekstożka pewną płaszczyzną, możemy obliczyć pole otrzymanego przekroju.

Już wiesz

Jeżeli promień podstawy stożka ma długość r, wysokość h, a tworząca l, to:

  • pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy ze wzoru P=πr2+πrl,

  • objętość stożka obliczamy ze wzoru V=13πr2·h.

Przykład 1

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o obwodzie równym 72. Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek wraz z przekrojem osiowym i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R7o2oaGCvRnD8

Zauważmy, że l=2r oraz h=l32.

Jeżeli obwód trójkąta równobocznego jest równy 72, zatem 3l=72, więc l=24.

Wobec tego r=12·24=12 oraz h=l32=2432=123.

Zatem pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

Pc=π·122+π·12·24=144π+288π=432π.

Objętość stożka wynosi:

V=13π·122·123=5763π.

Przykład 2

Tworząca stożka ma długość 16, a przekrojem poprzecznym stożka jest koło o polu równym 20π. Wiadomo, że płaszczyzna przekroju podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1, jak na rysunku. Obliczymy objętości brył, na jakie płaszczyzna przekroju podzieliła ten stożek.

R9wiYZVv6xuRZ
Rozwiązanie

Z treści zadania mamy l=16.

Ponieważ pole przekroju jest równe 20π, zatem:

π·r2=20π

r2=20, czyli r=25.

Jeżeli płaszczyzna przekroju podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1, to:

R=3·r=3·25=65.

Długość wysokości mniejszego stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

3h2+R2=l2

9h2+652=162

9h2+180=256

9h2=76

h2=769, czyli h=2193.

Zatem objętość całego stożka wynosi:

V=13·π·R2·3h=13·π·652·219=12019π.

Niech V1 będzie objętością stożka o podstawie r i wysokości h. Wówczas:

V1=13·π·r2·h=13·π·252·2193=40199π.

Niech V2 będzie objętością drugiej bryły powstałej po przecięciu stożka podaną płaszczyzną. Wówczas:

V2=V-V1=12019π-40199π=1040199π.

Przykład 3

Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu 12. Obliczymy pole przekroju osiowego tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy wycinek koła o promieniu 12.

R9mqcqPEZfrRg

Pole tego wycinka jest równe:

P=12π·122=72π.

Pole tego wycinka jest równe polu powierzchni bocznej stożka, zatem:

72π=π·r·12, czyli r=6.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o wymiarach, jak na rysunku.

R16BaRkv1wGGT

Wysokość tego trójkąta obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

h2+62=122

h2+36=144

h2=108

h=63.

Zatem pole tego przekroju jest równe:

P=12·12·63=363.

Przykład 4

Przez wierzchołek stożka o promieniu podstawy 16 i wysokości 8 poprowadzono płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny podstawy stożka pod kątem 30°. Obliczymy pole przekroju tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek oraz opisany przekrój.

R1Cez6nEUqZ0Q

Ponieważ sin30°=12, zatem:

8h=12

Czyli h=16.

Wobec tego x=83.

Długość odcinka y obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

y2+x2=r2

y2+832=162

y2+192=256

y2=64

y=8.

Długość podstawy trójkąta, który jest przekrojem tego stożka, wynosi 16.

Zatem pole tego przekroju jest równe:

P=12·16·16=128.

Przykład 5

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku, którego cosinus jest równy 13. Wyznaczymy objętość stożka jeżeli wiadomo, że tworząca stożka ma długość 3.

Rozwiązanie

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o bokach l, l, 2r oraz kącie przy wierzchołku α, przy czym cosα=13.

R1Q5KUjJRwKTD

Zatem do wyznaczenia wartości r wykorzystamy twierdzenie cosinusów i rozwiązujemy równanie:

2r2=l2+l2-2·l·l·cosα

4r2=32+32-2·3·3·13

4r2=12

r2=3, czyli r=3.

Wysokość h trójkąta równoramiennego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Zatem:

h2+32=32

h2+3=9

h2=6

h=6.

Wobec tego objętość stożka jest równa:

V=13·π·32·6=13·36π=6π.

Słownik

stożek
stożek

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej jedną z przyprostokątnych

kąt rozwarcia stożka
kąt rozwarcia stożka

kąt pomiędzy ramionami trójkąta, będącego przekrojem osiowym stożka