Przeczytaj
Przekrojem dowolnej bryły płaszczyzną jest figura płaska, która jest częścią wspólną danej bryły i tej płaszczyzny.
Przekroje stożka
Przekrój osiowy stożkastożka
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka jako l oraz promień podstawy stożka jako r.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1djc6MtY0oP1/1622539568/JMTzmDs6cONcv852ihEPHZxBkZJTsxJJ.png)
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o podstawie długości i ramionach długości .
Przekrój poprzeczny stożka
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprzeczny będącym kołem. Przekrój ten jest równoległy do podstawy stożka.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R2MKC7cL6KtGV/1622539568/17tMDOFNGmUXFQqVHbG1KuPSXbkqeBiv.png)
Przekrój poprzeczny stożka będący kołem, otrzymujemy w wyniku przecięcia stożka płaszczyzną równoległą do jego podstawy.
Przekrój stożka będący trójkątem
![Ilustracja przedstawia stożek. Wysokość stożka została oznaczona jako h, natomiast jego tworząca jako l. Poprowadzono także przekrój bryły, który jest trójkątem równoramiennym. Podstawą trójkąta jest cięciwa poprowadzona przez podstawę stożka, natomiast górny wierzchołek figury pokrywa się z wierzchołkiem stożka. Ramionami trójkąta są jednocześnie tworzące stożka.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RKWOV0MCVYFo0/1622539568/2kheZrur2OlUV8PiQTy3eYINbzWlYvPu.png)
Inne przekroje stożka
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprowadzony pod kątem ostrym. Przechodzi on przez jedną ze ścian bocznych oraz przez podstawę bryły. Przekrój jest ograniczony parabolą oraz cięciwą dolnej podstawy stożka.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1IKAPD5ui9zi/1622539569/1gn7krBYz6cj4rbvixxK6QFspgdJOzwC.png)
W wyniku przekroju stożka płaszczyzną przechodzącą przez powierzchnię boczną stożka oraz płaszczyznę jego podstawy (jak na rysunku), otrzymujemy przekrój będący figurą ograniczoną przez parabolę i cięciwę podstawy stożka.
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój, który przechodzi przez ściany boczne stożka. Przekrój jest ograniczony przez elipsę.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RuYRCuj8EVV7y/1622539569/2jlXmPrfpIei0n9fpDLjZFbAQvUxPnSt.png)
W wyniku przekroju stożka płaszczyzną przechodzącą przez powierzchnię boczną stożka (jak na rysunku), otrzymujemy przekrój będący figurą ograniczoną przez elipsę.
Mając dany przekrój stożkastożka pewną płaszczyzną, możemy obliczyć pole otrzymanego przekroju.
Jeżeli promień podstawy stożka ma długość , wysokość , a tworząca , to:
pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy ze wzoru ,
objętość stożka obliczamy ze wzoru .
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o obwodzie równym . Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.
Rozwiązanie
Narysujmy stożek wraz z przekrojem osiowym i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka l, wysokość h oraz promień podstawy stożka r.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R7o2oaGCvRnD8/1622539569/2ckalTqwEbE9ggdHHULU840BHiP3ojWx.png)
Zauważmy, że oraz .
Jeżeli obwód trójkąta równobocznego jest równy , zatem , więc .
Wobec tego oraz .
Zatem pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:
.
Objętość stożka wynosi:
.
Tworząca stożka ma długość , a przekrojem poprzecznym stożka jest koło o polu równym . Wiadomo, że płaszczyzna przekroju podzieliła wysokość stożka w stosunku , jak na rysunku. Obliczymy objętości brył, na jakie płaszczyzna przekroju podzieliła ten stożek.
![Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy R oraz jego przekrój poprzeczny będącym kołem o promieniu r. Przekrój ten jest równoległy do podstawy stożka i jest od niego oddalony o dwa h. Sumaryczna wysokość stożka ma długość trzy h, natomiast tworząca stożka ma długość l.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R9wiYZVv6xuRZ/1622539570/JPIVwqNWul3jkt61teTdUJ5pYkSRYpCW.png)
Rozwiązanie
Z treści zadania mamy .
Ponieważ pole przekroju jest równe , zatem:
, czyli .
Jeżeli płaszczyzna przekroju podzieliła wysokość stożka w stosunku , to:
.
Długość wysokości mniejszego stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
, czyli .
Zatem objętość całego stożka wynosi:
.
Niech będzie objętością stożka o podstawie i wysokości . Wówczas:
.
Niech będzie objętością drugiej bryły powstałej po przecięciu stożka podaną płaszczyzną. Wówczas:
.
Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu . Obliczymy pole przekroju osiowego tego stożka.
Rozwiązanie
Narysujmy wycinek koła o promieniu .
![Ilustracja przedstawia wycinek koła o promieniu dwanaście. Kąt zawarty pomiędzy dwoma promieniami wynosi dziewięćdziesiąt stopni.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R9mqcqPEZfrRg/1622539570/yeZJzQPUNzzxNggviYWGbTBNX4XCHhcc.png)
Pole tego wycinka jest równe:
.
Pole tego wycinka jest równe polu powierzchni bocznej stożka, zatem:
, czyli .
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o wymiarach, jak na rysunku.
![Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Połowa podstawy trójkąta ma długość sześć, natomiast długość jego ramienia wynosi dwanaście. Z górnego wierzchołka figury upuszczono wysokość h padającą na środek podstawy.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R16BaRkv1wGGT/1622539570/1AD0eproBns9z4qUeJQhsFyoweBRyq1x.png)
Wysokość tego trójkąta obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
.
Zatem pole tego przekroju jest równe:
.
Przez wierzchołek stożka o promieniu podstawy i wysokości poprowadzono płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny podstawy stożka pod kątem . Obliczymy pole przekroju tego stożka.
Rozwiązanie
Narysujmy stożek oraz opisany przekrój.
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono wysokość stożka o długości osiem. W trójkącie równoramiennym na środek cięciwy podstawy stożka upuszczono wysokość oznaczoną jako h. Punkt upuszczenia wysokości połączono ze środkiem podstawy stożka. Odcinek ten ma długość x. Koniec cięciwy został połączony ze środkiem podstawy stożka tworząc odcinek o długości szesnaście, a sama cięciwa ma długość dwa y. Na płaszczyźnie podstawy stożka powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x i y oraz przeciwprostokątnej równej szesnaście.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Cez6nEUqZ0Q/1622539570/2RbO6VR3fHqsPhghgvCYmpXF3nk0cmZn.png)
Ponieważ , zatem:
Czyli .
Wobec tego .
Długość odcinka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
.
Długość podstawy trójkąta, który jest przekrojem tego stożka, wynosi .
Zatem pole tego przekroju jest równe:
.
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku, którego cosinus jest równy . Wyznaczymy objętość stożka jeżeli wiadomo, że tworząca stożka ma długość .
Rozwiązanie
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o bokach , , oraz kącie przy wierzchołku , przy czym .
![Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka l, wysokość h oraz promień podstawy stożka r. Kąt pomiędzy dwoma ramionami trójkąta został oznaczony jako alfa.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Q5KUjJRwKTD/1622539571/1mrCaBVNR4yTii4ztoyM45WPdmj4H3Pc.png)
Zatem do wyznaczenia wartości wykorzystamy twierdzenie cosinusów i rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Wysokość trójkąta równoramiennego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Zatem:
.
Wobec tego objętość stożka jest równa:
.
Słownik
bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej jedną z przyprostokątnych
kąt pomiędzy ramionami trójkąta, będącego przekrojem osiowym stożka