Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Poznałeś już niektóre działania, które można wykonywać na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie wektora przez liczbę. Znasz również niektóre własności tych działań wspomniane w poprzednich lekcjach. Poniżej omówimy je bardziej szczegółowo.

Własności dodawania wektorów

Dla dowolnych wektorów u,v,w zachodzą następujące równości:

  1. u+v=v+u (przemienność dodawania wektorówprzemienność dodawania wektorówprzemienność dodawania wektorów)

  2. (u+v)+w=u+(v+w) (łączność dodawania wektorówłączność dodawania wektorówłączność dodawania wektorów)

  3. u+0=u (wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania wektorów)

  4. u+(-u)=0

Dowód

Ad. 1) Rozważmy wektory uv. Wybierzmy punkty AB, tak aby AB=u oraz punkt D, dla którego AD=v.

Aby udowodnić, że dodawanie wektorów jest przemienne można posłużyć się równoległobokiem. Rozważmy równoległobok ABCD - punkt C jest brakującym wierzchołkiem równoległoboku. Z własności równoległoboku wynika, że DC=uBC=v.

Z definicji sumy wektorów otrzymujemy równości:

AC=AB+BC=u+vAC=AD+DC=v+u

Stąd u+v=v+u

Ad. 2) Podobnie jak wyżej weźmy dowolne wektory u, vw iAB=u,BC=v,CD=w.

Wówczas na podstawie definicji sumy wektorów otrzymujemy:

AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(u+v)+wAD=AB+BD=AB+(BC+CD)=u+(v+w)

Stąd (u+v)+w=u+(v+w)

Ad. 3) Dla dowodu równości trzeciej wystarczy zauważyć, że początek i koniec wektora zerowego znajdują się w tym samym punkcie, zatem po zastosowaniu reguły łańcucha widzimy, że koniec drugiego wektora (zerowego) pokrywa się z końcem pierwszego wektora u, zatem suma wektorów u0 jest równa wektorowi u

Ad. 4) Przypomnijmy, że wektor przeciwny do danego wektora u ma ten sam kierunek i długość, co wektor u. Wektor u i wektor do niego przeciwny różnią się jedynie zwrotem, zatem jeśli u=AB, to -u=BA. Po przyłożeniu początku wektora BA do końca wektora AB, koniec wektora BA znajduje się w punkcie A, czyli w punkcie przyłożenia wektora AB. Zatem suma wektorów ABBA jest wektorem zerowym.

Własności mnożenia wektora przez liczbę

Nietrudno też uzasadnić następujące własności:

  1. Dla dowolnych liczb a, b i dowolnego wektora u zachodzi równość a(bu)=(ab)u (łączność iloczynu, łączność mnożenia wektora przez liczbęłączność mnożenia wektora przez liczbęłączność mnożenia wektora przez liczbę)

  2. Dla dowolnej liczby a i dowolnych wektorów uv zachodzi równośća(u+v)=au+av (rozdzielność iloczynu względem sumy wektorów, rozdzielność mnożenia względem dodawaniarozdzielność mnożenia względem dodawaniarozdzielność mnożenia względem dodawania)

  3. Dla dowolnych liczb a, b i dowolnego wektora u zachodzi równość (a+b)u=au+bu (rozdzielność iloczynu względem sumy liczb)

Dowód

Ad. 1) Jeśli któraś z liczb a lub b jest zerem albo u jest wektorem zerowym, to po obu stronach równania otrzymujemy wektor zerowy, czyli równość jest prawdziwa. Załóżmy więc, że a,b0u0. Pokażemy, że obie strony są wektorami o takich samych kierunkach, zwrotach i długościach, a więc są wektorami równymi.

Jeśli a>0b>0, to z definicji iloczynu wektora przez liczbę wynika, że u ma taki sam kierunek i zwrot jak bu. Z tego samego powodu bu ma taki sam kierunek i zwrot jak a(bu), czyli a(bu) ma taki sam kierunek i zwrot jak u.

Ponieważ a b>0, to również (ab)u ma taki sam kierunek i zwrot jak u. Ponownie z definicji iloczynu wektora przez liczbę wynika, że długość wektora bu jest równa |b|·|u|, zaś długość wektora a(bu) jest równa |a|·|bu|, czyli |a(bu)|=|a|·|bu|=|a|·|b|·|u|.

Z kolei długość wektora (ab)u jest równa |ab|·|u|. Z własności wartości bezwzględnej wynika, że |a(bu)|=|a|·|b|·|u|=|ab|·|u|=|(ab)u|.

Analogicznie dowodzimy równości w przypadkach, gdy ab<0 oraz a<0b<0.

Dowód podpunktów 2) i 3) pozostawiamy jako ćwiczenie.

Słownik

przemienność dodawania wektorów
przemienność dodawania wektorów

własność dodawania wektorów orzekająca, że kolejność składników sumowania nie ma znaczenia

łączność dodawania wektorów
łączność dodawania wektorów

własność dodawania wektorów orzekająca, że dla dowolnych wektorów a,b,c zachodzi (a+b)+c=a+(b+c)

łączność mnożenia wektora przez liczbę
łączność mnożenia wektora przez liczbę

własność mnożenia wektora przez liczbę, która orzeka, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i dowolnego wektora c zachodzi (ab)c=a(bc)

rozdzielność mnożenia względem dodawania
rozdzielność mnożenia względem dodawania

własność mnożenia wektorów przez liczbę, która orzeka, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i dowolnych wektorów u,v zachodzą następujące równości i własność mnożenia wektorów przez liczbę, która orzeka, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i dowolnych wektorów u,v zachodzą następujące równości (a+b)u=au+bua(u+v)=au+av