Poznałeś już niektóre działania, które można wykonywać na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie wektora przez liczbę. Znasz również niektóre własności tych działań wspomniane w poprzednich lekcjach. Poniżej omówimy je bardziej szczegółowo.

Własności dodawania wektorów

Dla dowolnych wektorów $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ zachodzą następujące równości:

1. $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ (przemienność dodawania wektorówprzemienność dodawania wektorówprzemienność dodawania wektorów)

2. $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$ (łączność dodawania wektorówłączność dodawania wektorówłączność dodawania wektorów)

3. $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$ (wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawania wektorów)

4. $\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{u}\right)=\overrightarrow{0}$

Dowód

Ad 1) Rozważmy wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$. Wybierzmy punkty $A$ i $B$, tak aby $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ oraz punkt $D$, dla którego $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{v}$.

Aby udowodnić, że dodawanie wektorów jest przemienne można posłużyć się równoległobokiem. Rozważmy równoległobok $ABCD$ - punkt $C$ jest brakującym wierzchołkiem równoległoboku. Z własności równoległoboku wynika, że $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$.

Z definicji sumy wektorów otrzymujemy równości:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\end{array}$

Stąd $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$

Ad 2) Podobnie jak wyżej weźmy dowolne wektory $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ i$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{w}$.

Wówczas na podstawie definicji sumy wektorów otrzymujemy:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$

Stąd $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$

Ad 3) Dla dowodu równości trzeciej wystarczy zauważyć, że początek i koniec wektora zerowego znajdują się w tym samym punkcie, zatem po zastosowaniu reguły łańcucha widzimy, że koniec drugiego wektora (zerowego) pokrywa się z końcem pierwszego wektora $\overrightarrow{u}$, zatem suma wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{0}$ jest równa wektorowi $\overrightarrow{u}$

Ad. 4) Przypomnijmy, że wektor przeciwny do danego wektora $\overrightarrow{u}$ ma ten sam kierunek i długość, co wektor $\overrightarrow{u}$. Wektor $\overrightarrow{u}$ i wektor do niego przeciwny różnią się jedynie zwrotem, zatem jeśli $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, to $-\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BA}$. Po przyłożeniu początku wektora $\overrightarrow{BA}$ do końca wektora $\overrightarrow{AB}$, koniec wektora $\overrightarrow{BA}$ znajduje się w punkcie $A$, czyli w punkcie przyłożenia wektora $\overrightarrow{AB}$. Zatem suma wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BA}$ jest wektorem zerowym.

Własności mnożenia wektora przez liczbę

Nietrudno też uzasadnić następujące własności:

1. Dla dowolnych liczb $a$, $b$ i dowolnego wektora $\overrightarrow{u}$ zachodzi równość $a\left(b\overrightarrow{u}\right)=\left(ab\right)\overrightarrow{u}$ (łączność iloczynu, łączność mnożenia wektora przez liczbęłączność mnożenia wektora przez liczbęłączność mnożenia wektora przez liczbę)

2. Dla dowolnej liczby $a$ i dowolnych wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ zachodzi równość $a\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=a\overrightarrow{u}+a\overrightarrow{v}$ (rozdzielność iloczynu względem sumy wektorów, rozdzielność mnożenia względem dodawaniarozdzielność mnożenia względem dodawaniarozdzielność mnożenia względem dodawania)

3. Dla dowolnych liczb $a$, $b$ i dowolnego wektora $\overrightarrow{u}$ zachodzi równość $\left(a+b\right)\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{u}$ (rozdzielność iloczynu względem sumy liczb)

Dowód

Ad 1) Jeśli któraś z liczb $a$ lub $b$ jest zerem albo $\overrightarrow{u}$ jest wektorem zerowym, to po obu stronach równania otrzymujemy wektor zerowy, czyli równość jest prawdziwa. Załóżmy więc, że $a,b\ne 0$ i $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$. Pokażemy, że obie strony są wektorami o takich samych kierunkach, zwrotach i długościach, a więc są wektorami równymi.

Jeśli $a>0$ i $b>0$, to z definicji iloczynu wektora przez liczbę wynika, że $\overrightarrow{u}$ ma taki sam kierunek i zwrot jak $b\overrightarrow{u}$. Z tego samego powodu $b\overrightarrow{u}$ ma taki sam kierunek i zwrot jak $a\left(b\overrightarrow{u}\right)$, czyli $a\left(b\overrightarrow{u}\right)$ ma taki sam kierunek i zwrot jak $\overrightarrow{u}$.

Ponieważ $a b>0$, to również $\left(ab\right)\overrightarrow{u}$ ma taki sam kierunek i zwrot jak $\overrightarrow{u}$. Ponownie z definicji iloczynu wektora przez liczbę wynika, że długość wektora $b\overrightarrow{u}$ jest równa $\left|b\right|·\left|\overrightarrow{u}\right|$, zaś długość wektora $a\left(b\overrightarrow{u}\right)$ jest równa $\left|a\right|·\left|b\overrightarrow{u}\right|$, czyli $\left|a\left(b\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|a\right|·\left|b\overrightarrow{u}\right|=\left|a\right|·\left|b\right|·\left|\overrightarrow{u}\right|$.

Z kolei długość wektora $\left(ab\right)\overrightarrow{u}$ jest równa $\left|ab\right|·\left|\overrightarrow{u}\right|$. Z własności wartości bezwzględnej wynika, że $\left|a\left(b\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|a\right|·\left|b\right|·\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|ab\right|·\left||\overrightarrow{u}\right|=\left|\left(ab\right)\overrightarrow{u}\right|$.

Analogicznie dowodzimy równości w przypadkach, gdy $ab<0$ oraz $a<0$ i $b<0$.

Dowód podpunktów 2) i 3) pozostawiamy jako ćwiczenie.

Słownik