Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Symetralna odcinka

symetralna odcinka
Definicja: symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

R5nxpfqJMHhwL

Geometryczna własność symetralnej odcinka

Podamy teraz ważną własność symetralnej odcinka.

o punkcie leżącym na symetralnej odcinka
Twierdzenie: o punkcie leżącym na symetralnej odcinka

Jeżeli punkt P leży na symetralnej k odcinka AB, to AP=BP.

R1Vq3ALgNbXZP
Dowód

Załóżmy, że P jest dowolnym punktem leżącym na symetralnej k odcinka AB. Jeśli P jest środkiem odcinka AB, to oczywiście AP=BP. Jeśli natomiast P nie jest środkiem odcinka AB, to wtedy trójkątyAPMBPM, gdzie M oznacza środek odcinka AB, są przystające. Wynika to z cechy bkb przystawania trójkątów (odcinek PM jest wspólnym bokiem tych trójkątów, kąty AMPBMP są proste oraz AM=BM). To kończy dowód.

odwrotne do twierdzenia o punkcie leżącym na symetralnej odcinka
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia o punkcie leżącym na symetralnej odcinka

Jeżeli P jest takim punktem płaszczyzny, że AP=BP, to P leży na symetralnej k odcinka AB.

Dowód

Załóżmy, że P jest takim punktem płaszczyzny, że AP=BP. Jeśli P jest środkiem odcinka AB, to z definicji symetralnej odcinka wynika, że leży on na symetralnej k odcinka AB.

ep2019.contentplus.io:RQOo3o4lJCZzg

Jeśli P nie jest środkiem odcinka AB, to wtedy trójkątyAPMBPM, gdzie M oznacza środek odcinka AB, są przystające. Wynika to z cechy bbb przystawania trójkątów (odcinek PM jest wspólnym bokiem tych trójkątów, AP=BP, co wynika z założenia, oraz AM=BM). Stąd wynika, że kąty AMPBMP są równe, ale suma tych kątów jest kątem półpełnym, więc każdy z tych kątów jest prosty. To z kolei oznacza, że prosta PM jest prostopadła do odcinka AB i przechodzi przez środek M tego odcinka, a więc jest to symetralna k odcinka AB. To kończy dowód.

Te dwa twierdzenia często zapisujemy w postaci jednego twierdzenia:

bg‑violet

Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo oddalonych od jego końców.

Konstrukcja symetralnej odcinka

Ponieważ symetralna jest prostą, więc wystarczy znaleźć dwa różne punkty przez które ta symetralna przechodzi. Z własności symetralnej wynika, że każdy z tych punktów musi być równo oddalony od końców odcinka. Wystarczy w tym celu narysować dwa przecinające się okręgi o tych samych promieniach i środkach będących końcami odcinka. Kolejne etapy konstrukcji symetralnej odcinka AB pokazuje animacja.

R1MsUcXAb7m9B
Opis alternatywny ilustracji 1, Opis alternatywny ilustracji 2, Opis alternatywny ilustracji 3, Opis alternatywny ilustracji 4, Opis alternatywny ilustracji 5, Opis alternatywny ilustracji 6

Poprawność tej konstrukcji wynika wprost z faktu, że końce odcinka AB oraz punkty PQ przecięcia okręgów są wierzchołkami rombu AQBP o boku długości r, a przekątne rombu są prostopadłe i wzajemnie się połowią, więc prosta PQ jest prostopadła do odcinka AB, a punkt jej przecięcia z tym odcinkiem jest jego środkiem.

Uwaga

W praktyce, konstruując symetralną odcinka, nie rysujemy całych okręgów, a jedynie takie łuki tych okręgów, które przecinają się w dwóch punktach.

Uwaga

Konstruując symetralną odcinka, konstruujemy też środek tego odcinka.

Prześledźmy kilka przykładów, w których wykorzystamy symetralną.

Przykład 1

Podziel konstrukcyjnie dany odcinek AB na cztery równe części.

W pierwszym kroku skonstruujemy symetralną odcinka AB. Punkt M jej przecięcia z odcinkiem AB jest środkiem tego odcinka. Powtarzamy konstrukcję symetralnej dla każdego z odcinków AMMB. Punkty LN przecięcia tych symetralnych i odcinków odpowiednio AMMB wraz z punktem M to szukane punkty podziału.

RVwApuv17tBlq
Przykład 2

Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: A, B, C. Udowodnij, że jeśli symetralne odcinków ABBC są równoległe, to A, BCpunktami współliniowymipunkty współliniowepunktami współliniowymi.

Niech kl oznaczają symetralne odcinków odpowiednio ABBC.

R1a5qVa0d7FdF

Z definicji symetralnej odcinka wynika, że kABlBC. Stąd i z założenia, że kl wynika, że ABBC. To z kolei oznacza, że punkty A, BC są współliniowe. To kończy dowód.

W ostatnim przykładzie pokażemy rozwiązanie problemu wyboru właściwego miejsca na wybudowanie przejazdu nad (lub pod) autostradą.

Przykład 3

W pobliżu dwóch miejscowości AB będzie przechodziła autostrada tak, że te miejscowości będą rozdzielone tą autostradą.

RqQCe6xGPiMJO

Musimy znaleźć na „autostradzie” taki punkt P, żeby zachodziła równość AP=BP. W tym celu narysujmy odcinek AB, a następnie skonstruujmy jego symetralną k. Punkt jej przecięcia z „autostradą” jest szukanym przez nas punktem P.

RH3DtXSprZs9r

Istotnie spełnia on oba warunki, a więc leży na „autostradzie” oraz jest równo oddalony od punktów AB, gdyż leży na symetralnej odcinka AB.

Słownik

punkty współliniowe
punkty współliniowe

punkty, które leżą na jednej prostej. W przypadku trzech parami różnych punktów możemy zapisać: Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy AC=AB+BC lub AB=AC+CB lub BC=BA+AC