Warto przeczytać

Zachęcamy do wykonania prostego eksperymentu we własnym zakresie. Potrzebny nam jest do niego obiekt, którego moment bezwładności różni się w zależności od osi, wokół której obiekt ten będzie obracany. Istotne jest, aby dla każdej z trzech osi obrotu X, Y, Z obiekt ten miał różny moment bezwładności. Aby lepiej zrozumieć to założenie, przyjrzyjmy się poniższym bryłom:

Kula jest elementem, który wykazuje środek symetrii – jej moment bezwładności jest identyczny, niezależnie od tego, wokół jakiej osi (przechodzącej przez jej środek masy) się obraca, za każdym razem będzie to $I=\frac{2}{5}m{R}^2$, gdzie m to jej masa, a R to jej promień (więc nie o taki element nam chodzi!).

RrBtrI12EloV4

Rys. 1. Na rysunku znajduje się układ trzech wzajemnie prostopadłych osi oznaczonych wielkimi literami: OX, OY i OZ. Oś OZ jest pionowa, a osie OX i OY leżą w płaszczyźnie poziomej. W układzie narysowano kulę o środku w punkcie przecięcia osi.

W przypadku walca mamy do czynienia z symetrią obrotową – jego moment bezwładności względem osi Z będzie wynosił $I=\frac{1}{2}m{R}^2$, ale wokół osi Y i X będzie wynosił $I=\frac{1}{4}m{R}^2+\frac{1}{12}m{L}^2$, gdzie L to wysokość tego walca (więc również ta bryła odpada).

R1ZGtEpRT4Vn0

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ trzech wzajemnie prostopadłych osi oznaczonych wielkimi literami: OX, OY i OZ. Oś OZ jest pionowa, a osie OX i OY leżą w płaszczyźnie poziomej. W układzie narysowano walec o osi symetrii pokrywającej się z pionową osią OZ. Punkt przecięcia osi znajduje się na osi symetrii, w połowie wysokości walca.

Jeśli natomiast spojrzymy na prostopadłościan, którego boki mają różne długości, zobaczymy, że moment bezwładności wokół każdej z nich będzie miał inną wartość:

RE3XiNOwAWMWS

Rys. 3. Na rysunku znajduje się układ trzech wzajemnie prostopadłych osi oznaczonych wielkimi literami: OX, OY i OZ. Oś OZ jest pionowa, a osie OX i OY leżą w płaszczyźnie poziomej. W układzie narysowano prostopadłościan, którego najdłuższa krawędź jest pionowa. Punkt przecięcia osi znajduje się w środku masy prostopadłościanu.

Chcemy zbadać zachowanie właśnie takiego obiektu jak na Rys. 3. – może być nim na przykład puste pudełko zapałek. Zwróćmy uwagę, że skoro momenty bezwładności względem wskazanych osi się różnią, to jeden z tych momentów będzie miał wartość największą, inny najmniejszą, a trzeci wartość pomiędzy minimum i maksimum.

Jeśli analizujemy pudełko zapałek, to osią, względem której moment bezwładności będzie najmniejszy będzie oś równoległa do najdłuższego boku. Połóż pudełko zapałek na krawędzi stołu tak, aby trochę wystawało poza stół i żeby jego dłuższa krawędź znajdowała się równolegle do krawędzi stołu (Rys. 4.). Jeśli w tym momencie uderzysz palcem to pudełko od dołu, to podskoczy ono, obracając się dookoła osi minimalnego momentu bezwładności.

R4VeMSo3TfTKv

Rys. 4. Na rysunku pokazano pudełko zapałek ułożone na stole na trzy sposoby. Z lewej strony wizualizacji pudełko leży na największej ściance, a jego najdłuższa krawędź jest równoległa do krawędzi stołu. Pudełko środkowe leży na wąskiej ściance z draską, a jego najkrótsza krawędź jest równoległa do krawędzi stołu. Z prawej strony wizualizacji pudełko leży na największej ściance, a krótsza krawędź przy tej ściance jest równoległa do krawędzi stołu.

Powtórzmy ten eksperyment, kładąc pudełko na jego boku z draską. Analogicznie uderzając otrzymamy rotację dookoła osi maksymalnego momentu bezwładności. Nic zaskakującego się nie wydarzyło. Ale teraz połóż pudełko na jego największej powierzchni tak, by jego krótszy bok był równoległy do krawędzi stołu – w momencie uderzenia będzie się ono obracało dookoła osi o pośrednim momencie bezwładności. Przyjrzyj się dobrze jego ruchowi w powietrzu. Jest zupełnie inny niż w dwóch poprzednich przypadkach! Wtedy obrót następował wyłącznie dookoła jednej osi, a przy symetrycznym uderzeniu pudełko lądowało na stole zorientowane tak samo, jak w momencie uderzenia. Tym razem pudełko obraca się w locie!

Możesz powtórzyć ten eksperyment wielokrotnie – zawsze otrzymasz ten sam wynik, że to nie kwestia Twojego symetrycznego lub niesymetrycznego uderzenia sprawia, że w tym wypadku oś obrotu zmienia się w trakcie lotu. Może to kwestia pudełka zapałek? Weź zatem dowolny inny obiekt, który wokół każdej z trzech prostopadłych osi obrotu przechodzących przez jego środek masy ma inny moment bezwładności – na przykład rakietę tenisową. Zaobserwujesz dokładnie to samo zjawisko. Jest to właśnie efekt DżanibekowaWładimir DżanibekowDżanibekowa, znany również jako twierdzenie o osi pośredniej lub twierdzenie rakiety tenisowej. Widzimy, że ruch dookoła osi o minimalnym lub maksymalnym momencie bezwładności jest ruchem stabilnym, czyli ciało znajduje się w stanie trwałej równowagi (kontynuuje swój ruch nie zmieniając drastycznie jego parametrów, nawet pod wpływem zaburzeń) – natomiast ruch dookoła osi pośredniej jest ruchem niestabilnym. Nawet bardzo mała siła wytrąci ciało z położenia równowagi nietrwałej, zmieniając kierunek jego obrotu.

Widzimy, że moment bezwładności ma znaczący wpływ na zachowanie się bryły sztywnej pod wpływem przyłożenia do niej momentów sił. Ilustruje to również druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, która stwierdza, że przyspieszenie kątowe $\overrightarrow{\epsilon }$, jakiego doznaje bryła o momencie bezwładności I pod wpływem przyłożenia do niej momentu siły $\overrightarrow{M}$ wynosi:

Moment bezwładności istotnie wpływa również na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej – energię tę dla bryły o momencie bezwładności I, obracającej się z prędkością kątową $\omega$ definiujemy jako:

Przyjrzyjmy się przykładowi bryły staczającej się bez poślizgu z równi pochyłej, jak na Rys. 5. Czy moment bezwładności będzie wpływał na to, jak szybko stoczy się ta bryła lub, jaką będzie miała prędkość kątową?

RJlZRS5SNZbHm

Rys. 5. Na rysunku znajduje się równia pochyła, nachylona pod kątem alfa do poziomu. Narysowano kulę staczającą się z równi w dwóch skrajnych położeniach. Z lewej strony kula jest w najwyższym punkcie równi. Narysowano promień kuli i oznaczono go literą wielkie R. Z prawej strony widać kulę u podnóża równi. Ze środka kuli wychodzi poziomy wektor prędkości skierowany w prawo i oznaczony literą v. Nad kulą narysowano łuk zakończony strzałką pokazującą kierunek ruchu obrotowego kuli zgodny z ruchem wskazówek zegara. Prędkość kątową kuli oznaczono grecką literą małe omega. Przez środki kuli w najwyższym i najniższym położeniu przeprowadzono poziome przerywane linie. Odległość między liniami oznaczono wielkimi literami delta H.

Skorzystajmy z zasady zachowania energii - całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej będącej na końcu równi równa jest energii potencjalnej tej bryły w momencie, gdy zaczęła się toczyć:

Skoro toczenie zachodzi bez poślizgu, to $v=\omega R$, zatem dla kuli:

Przeprowadzając analogiczne obliczenia dla walca otrzymamy:

Widzimy, że walec, który przy tym samym promieniu posiada większy niż kula moment bezwładności, będzie miał mniejszą prędkość końcową staczania się z równi niż kula:

Kula, która ma mniejszy moment bezwładności niż walec o tej samej masie i promieniu, szybciej stoczy się z równi.

Słowniczek