Film samouczek

Dwie bryły na równi pochyłej

Trochę teorii

Obejrzyj film samouczek, w którym pokazano, że pomiar czasu staczania się dwóch różnych brył z tej samej równi pozwala porównać współczynniki opisujące ich momenty bezwładności.
Wykorzystaj następnie związki podane w filmie do analizy wyników eksperymentu, którego celem jest wyznaczenie takiego współczynnika dla nieco nietypowej bryły.

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, w którym pokazano, że pomiar czasu staczania się dwóch różnych brył z tej samej równi pozwala porównać współczynniki opisujące ich momenty bezwładności.
Wykorzystaj następnie związki podane w filmie do analizy wyników eksperymentu, którego celem jest wyznaczenie takiego współczynnika dla nieco nietypowej bryły.

R1U3A9HcLNmXL

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Polecenie 1

Wyprowadź równanie na przyspieszenie bryły staczającej się z równi o kącie nachylenia $α$ , wykorzystane w samouczku.

a = \frac{g \sin (α)}{1 + k}; gdzie k = \frac{I}{m R^{2}}

Wykorzystaj układ równań podany w samouczku.

(1)

M = R \cdot T = I \cdot ε

(2)

a = R \cdot ε

(3)

m a = m g \sin (α) - T

Po wstawieniu wyrażenia na $ε$ z równania (2), równanie (1) przyjmuje postać:

R \cdot T = \frac{I \cdot a}{R} \Rightarrow T = \frac{I \cdot a}{R^{2}}

Wyrażenie to wstawiamy do równania (3) i wyznaczamy przyspieszenie liniowe:

m a = m g \sin (α) - \frac{I \cdot a}{R^{2}}

m a + \frac{I \cdot a}{R^{2}} = m g \sin (α)

a (1 + \frac{I}{m R^{2}}) = g \sin (α)

a = \frac{g \sin (α)}{1 + k}

Wspólna treść do poleceń 2‑4

Uczniowie technikum mechanicznego znaleźli łożysko walcowe i postanowili zmierzyć jego moment bezwładności z wykorzystaniem rozumowania przedstawionego w filmie samouczku. Poszukiwali współczynnika k, o którym mowa w samouczku, łączącego masę łożyska i jego zewnętrzny promień z jego momentem bezwładności:

I = k \cdot M R^{2}

W tym celu użyli deski o długości rzędu dwóch metrów. Jeden z jej końców unieśli nieco; uzyskali w ten sposób równię pochyłą. Przygotowali walec, który w doświadczeniu pełnił rolę bryły wzorcowej, o znanej wartości współczynnika $k_{w} = \frac{1}{2}$ .

Jedna osoba, na umówiony znak, jednocześnie wypuszczała obie bryły ze szczytu równi, inna osoba łapała bryły po tym, jak już stoczyły się z równi. Pozostali uczniowie, dysponujący stoperami, zostali podzieleni na dwie grupy: jedni mieli za zadanie zatrzymać swe stopery, gdy równię opuszczał walec, drudzy zatrzymywali swe stopery, gdy równię opuszczało łożysko.
Analiza wyników uzyskanych w każdej z grup oraz ich rozrzutu pozwoliła określić średnie czasy staczania każdej z brył, wraz z niepewnością standardową każdego z nich.
1. Dla łożyska uzyskano t = 2,62 s; u(t) = 0,16 s.
2. Dla walca uzyskano tIndeks dolny w = 2,44 s; u(tIndeks dolny w) = 0,11 s.

Zwróć uwagę, że względna niepewność tych wyników jest rzędu 5%-6%.

Polecenie 2

Porównanie czasów t oraz tIndeks dolny w pozwala porównać wartości k i kIndeks dolny w, zgodnie z wyprowadzonym w samouczku związkiem:

\frac{1 + k}{1 + k_{w}} = \frac{t^{2}}{t_{w}^{2}} = q

Symbolem q oznaczony jest iloraz kwadratów czasów staczania się poszczególnych brył. Wszyscy wykonujący pomiary wyraźnie słyszeli i widzieli, że walec opuszcza równię wcześniej, niż łożysko. Na tej podstawie mogli bez wątpienia stwierdzić, że q > 1, więc k > kIndeks dolny w.

RzmcLXoHFNMqU

Czasy t i tIndeks dolny w są wynikami pomiarów i są obarczone niepewnością. By stwierdzić, który z tych czasów jest dłuższy, należy porównać rząd wielkości ich różnicy (tutaj są to dziesiąte części sekundy) z rzędem wielkości niepewności ich pomiaru - także dziesiąte części sekundy. Taki wynik porównania nie pozwala jednoznacznie rozstrzygnąć problemu, nawet gdy średnie wartości spełniają warunek t > tIndeks dolny w.
Obliczenia wykraczające poza zakres szkoły średniej pozwoliłyby określić prawdopodobieństwo poszczególnych zdarzeń:

$t > t_{w}$ .
$t = t_{w}$ .
$t < t_{w}$ .

Polecenie 3

Oblicz wartość oraz niepewność pomiarową wielkości q, zdefiniowanej w poprzednim poleceniu.

1. Oblicz bezwymiarową wielkość q i pozostaw niejaki nadmiar cyfr - zaokrąglisz wynik po wyznaczeniu niepewności u(q).

q = {(\frac{t}{t_{w}})}^{2} = {(\frac{2, 62}{2, 44})}^{2} \approx 1, 1530

2. Niepewność u(q) jest pierwiastkiem sumy kwadratów udziałów uIndeks dolny t(q) oraz uIndeks dolny tw(q) związanych z niepewnościami pomiaru czasów: u(t) oraz u(tIndeks dolny w). Zacznij od określenia tych udziałów.

2.1 Udział związany z u(t).

u_{t} (q) = \frac{1}{2} | {(\frac{t + u (t)}{t_{w}})}^{2} - {(\frac{t - u (t)}{t_{w}})}^{2} | = \frac{1}{2 t_{w}^{2}} | t^{2} + 2 t u (t) + {(u (t))}^{2} - t^{2} + 2 t u (t) - {(u (t))}^{2} |

u_{t} (q) = \frac{1}{2 t_{w}^{2}} | 4 t u (t) | \approx 0, 1408

2.2 Udział związany z u(tIndeks dolny w).

u_{t w} (q) = \frac{1}{2} | {(\frac{t}{t_{w} + u (t_{w})})}^{2} - {(\frac{t}{t_{w} - u (t_{w})})}^{2} | = \frac{t^{2}}{2} | {(\frac{1}{t_{w} + u (t_{w})})}^{2} - {(\frac{1}{t_{w} - u (t_{w})})}^{2} |

u_{t w} (q) = \frac{2, 62^{2}}{2} | {(\frac{1}{2, 44 + 0, 11})}^{2} - {(\frac{1}{2, 44 - 0, 11})}^{2} | \approx 0, 1044

3. Teraz oblicz u(q). Wynik zaokrąglij do dwóch cyfr znaczących.

u (q) = \sqrt{u_{t}^{2} (q) + u_{t w}^{2} (q)} = \sqrt{0, 1408^{2} + 0, 1044^{2}} \approx 0, 18

Tak więc q = 1,15 (0,18). Względna niepewność q to około 16%.

Polecenie 4

Oblicz wartość oraz niepewność współczynnika k dla łożyska.
Skomentuj pokrótce względną niepewność pomiarową ostatecznego wyniku.

Rozwiąż względem k równanie analizowane w poleceniu 2. i wstaw znane wartości do uzyskanego rozwiązania.

k = (1 + k_{w}) \cdot q - 1 = \frac{3}{2} q - 1 = 0, 725

Związek pomiędzy k oraz q ma postać funkcji liniowej. Tak więc niepewność u(k) jest proporcjonalna do u(q).

u (k) = \frac{3}{2} u (q) = 0, 27

Ostatecznie więc współczynnik łączący moment bezwładności łożyska z jego masą i zewnętrznym promieniem w równaniu $I = k M R^{2}$ ma wartość $k = 0,725 (0,27)$ .

Komentarz
Względna niepewność uzyskanego wyniku jest rzędu niecałych 40%. To może być podstawą do uznania, że wynik jest mało precyzyjny. Przyczyną jest nie tylko względna niepewność czasów, mierzonych bezpośrednio. Tę można próbować zmniejszyć, stosując przyrządy pomiarowe bardziej precyzyjne niż stopery - na przykład fotokomórki.

Poważny wkład do wartości względnej niepewności pomiarowej wynika z samej metody pomiaru oraz związanej z nią matematycznej postaci zależności, z której korzystamy dla wyznaczenia wartości k.

DLA ZAINTERESOWANYCH
Wykonaj odpowiednie obliczenia i przekonaj się, że wielkość k' = (1 + k) jest wyznaczona z tą samą niepewnością bezwzględną, co wielkość k, ale ze znacznie mniejszą niepewnością względną. Ponieważ jednak k < 1, to odjęcie jedności od k' zauważalnie zwiększa niepewność względną k, w porównaniu z k'.

Wspólna treść do poleceń 5‑8

Obejrzyj film, na którym przedstawiono staczanie się dwóch różnych brył z tej samej równi. Bryły wypuszczane są w tej samej chwili.
W pierwszym eksperymencie bez trudu zauważysz, że czasy staczania się tych brył są różne.
W drugim eksperymencie czasy staczania są zdecydowanie jednakowe.

RxGgfrw6jQxqS

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Polecenie 5

W pierwszym doświadczeniu krążki mają jednakowe masy i są zbudowane z drewna i stali. Nazwijmy pierwszym krążek z drewnem w środku, drugim zaś ten ze stalą w środku. Podaj powód, dla którego czasy ich staczania spełniają warunek tIndeks dolny 1 > tIndeks dolny 2.

Oba krążki mają symetrię obrotową, zatem zgodnie z założeniem w samouczku, ich momenty bezwładności można wyrazić jako

I = k \cdot m R^{2}

Czy współczynnik k jest taki sam dla obu klocków?

Rozkład materii w obu krążkach ma symetrię obrotową, ale nie jest jednorodny. W pierwszym krążku materia bardziej masywna (o większej gęstości) jest ułożona dalej od osi obrotu, w drugim zaś leży bliżej osi. To właśnie powoduje, że współczynniki kIndeks dolny 1 oraz kIndeks dolny 2, o których mowa jest w podpowiedzi, nie są jednakowe, lecz spełniają związek kIndeks dolny 2 > kIndeks dolny 1.
Zgodnie zaś z wyrażeniem wyprowadzonym w samouczku, które dla potrzeb tego polecenia przybiera postać

\frac{1 + k_{1}}{1 + k_{2}} = \frac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}

taki związek pomiędzy współczynnikami k uzasadnia stwierdzoną różnicę pomiędzy czasami staczania.

Polecenie 6

W drugim doświadczeniu czasy staczania krążków są jednakowe, choć masy krążków są różne.

R1YQTGVT9WhdP

Dla zainteresowanych

Polecenie 7

Wykorzystaj miernik czasu, jakim jest odtwarzacz filmu i zmierz czasy tIndeks dolny 1 i tIndeks dolny 2 staczania się brył w pierwszym doświadczeniu. Określ niepewności standardowe u(tIndeks dolny 1 ) oraz u(tIndeks dolny 2) tych czasów.
Wyznacz wielkość q zdefiniowaną w poleceniu 2. i porównaj jej niepewność u(q) z uzyskaną w poleceniu 3.

Polecenie 8

W poniższej wersji filmu ujawniono wskazania elektronicznego stopera mierzącego czasy staczania brył z równi. Wykonaj czynności z poprzedniego polecenia korzystając z tych pomiarów.
Porównaj także, za pomocą opisanej techniki analizy filmu „klatka po klatce”, upływ czasu wskazywany przez elektroniczny stoper z tempem pokazywania każdej klatki.

RRF6SkftXLOTC

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przeczytaj

Sprawdź się

Dwie bryły na równi pochyłej

Trochę teorii

Wspólna treść do poleceń 2‑4

Wspólna treść do poleceń 5‑8