Każda prosta, która nie jest prostą pionową (równoległą do osi Y), daje się opisać tzw. równaniem kierunkowym y=ax+b. Więcej szczegółów znajdziesz w lekcji o temacie “Równanie kierunkowe prostej”. W tej lekcji zajmiemy się szczególnym rodzajem prostych, mianowicie omówimy własności prostych o równaniach postaci y=ax.

Przykład 1

Narysujemy proste o danych niżej równaniach przez podstawienie konkretnych liczb za x.

a)

y=3x

Aby narysować prostą w układzie współrzędnych, stworzymy tabelę, która posłuży nam do wyznaczenia współrzędnych punktów należących do tej prostej. Liczby w pierwszym wierszu tabeli wybieramy uznaniowo, zaś drugi wiersz wypełniamy na podstawie równania opisującego prostą.

x

-2

-1

0

1

2

y=3x

6

3

0

3

6

Otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów, które należą do prostej o równaniu y=3x:

-2,-6, -1,-3, 0,0, 1,3, 2,6

R1FmNAPHPkCaB
b) 

y=12x

Ponownie tworzymy tabelę, która ułatwi nam wyznaczenie współrzędnych punktów należących do prostej. Liczby w pierwszym wierszu również wybieramy uznaniowo, ale tym razem wybieramy je tak, aby były podzielne przez 2. Kierujemy się przy tym tylko wygodą obliczeń.

x

-4

-2

0

2

4

y=12x

2

1

0

1

2

Otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów które należą do prostej o równaniu y=12x:

-4,-2, -2,-1, 0,0, 2,1, 4,2

R4C32vhkkppye
c)

y=43x

Podobnie jak w poprzednich przykładach tworzymy tabelkę.

x

-6

-3

0

3

6

y=43x

-8

-4

0

4

8

Zatem do prostej o równaniu y=43x należą między innymi punkty o współrzędnych:-6,-8, -3,-4, 0,0, 3,4, 6,8.

R1eJdUiLtpWJP
d)

y=34x

Tworzymy tabelę:

x

-4

-2

0

2

4

y=34x

-3

-32

0

32

3

Zatem do prostej o równaniu y=34x należą między innymi punkty o współrzędnych: -4,-3, -2,-32, 0,0, 2,32, 4,3.

RxJYA3TAlR2NK
e)

y=-3x

Tworzymy tabelę:

x

-2

-1

0

1

2

y=-3x

6

3

0

-3

-6

Zatem do prostej o równaniu y=-3x należą między innymi punkty o współrzędnych: -2,6, -1,3, 0,0, 1,-3, 2,-6.

R17e8CIYsxoMV
f)

y=-12x

Tworzymy tabelę:

x

-4

-2

0

2

4

y=-12x

2

1

0

-1

-2

Zatem do prostej o równaniu y=-12x należą między innymi punkty o współrzędnych: -4,2, -2,1, 0,0, 2,-1, 4,-2.

R1gG8s7MfdQmz
g)

y=-43x

Tworzymy tabelę:

x

-6

-3

0

3

6

y=43x

8

4

0

-4

-8

Zatem do prostej o równaniu y=-43x należą między innymi punkty o współrzędnych: -6,8, -3,4, 0,0, 3,-4, 6,-8.

R6p21xiq9bayY
h)

y=-34x

Tworzymy tabelę:

x

-4

-2

0

2

4

y=-34x

3

32

0

-32

-3

Zatem do prostej o równaniu y=-34x należą między innymi punkty o współrzędnych: -4,3, -2,32, 0,0, 2,-32, 4,-3.

RyihlfDCOQtAP
Polecenie 1
RpsxWgIPSwxko
Na podstawie powyższych przykładów uzupełnij luki tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe: Każda prosta, której równanie ma postać igrek równa się a iks przechodzi przez punkt o współrzędnych (Tu uzupełnij).
Polecenie 2
RoCWD2A4gjRKT
Również z przytoczonych wyżej przykładów możemy wyciągnąć wnioski dotyczące położenia w prostokątnym układzie współrzędnych prostej o równaniu igrek równa się a iks w zależności od wartości współczynnika a. Wybierz właściwe słowa, aby je uzyskać. Jeżeli współczynnik a w równaniu prostej igrek równa się a iks jest dodatni, to prosta przechodzi przez ćwiartki. Możliwe odpowiedzi: pierwszą | drugą | trzecią | czwartą. Jeżeli współczynnik a w równaniu prostej igrek równa się a iks jest ujemny, to prosta przechodzi przez ćwiartki: możliwe odpowiedzi: pierwszą | drugą | trzecią | czwartą. Jeżeli współczynnik a w równaniu prostej igrek równa się a iks jest równy zero, to prosta pokrywa się z osią: Możliwe odpowiedzi: rzędnych | odciętych.

Poniższą interpretację współczynnika kierunkowego można wykorzystać do sprawnego szkicowania prostych na podstawie ich równań oraz do podawania równań prostych na podstawie ich wykresu.

Przykład 2

Przeanalizujemy kilka przykładów za każdym razem badając punkty kratowepunkt kratowypunkty kratowe (punkty o współrzędnych całkowitych) znajdujące się na danej prostej.

a)

y=2x

Zwróć uwagę na punkty kratowe.

Aby przemieścić się od punktu -2,-4 do punktu -1,-2 wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i jedną jednostkę w prawo.

Aby przemieścić się od punktu -1,-2 do punktu 0,0 ponownie wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i jedną jednostkę w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

RgChoikfYRixS
b)

y=23x

Aby przemieścić się od punktu -3,-2 do punktu 0,0 wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i trzy jednostki w prawo.

Aby przemieścić się od punktu 0,0 do punktu 3,2 ponownie wystarczy “przejść” dwie jednostki do góry i trzy jednostki w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

RMOti5iRoXN4p
c)

y=-3x

Aby przemieścić się od punktu 1,-3 do punktu 0,0 wystarczy “przejść” trzy jednostki w dół i jedną jednostkę w prawo.

Aby przemieścić się od punktu 0,0 do punktu 1,-3 ponownie wystarczy “przejść” trzy jednostki w dół i jedną jednostkę w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

R2JkCjEbeLE3K
d)

y=-43x

Aby przemieścić się od punktu 0,0 do punktu 3,-4 wystarczy “przejść” cztery jednostki w dół i trzy jednostki w prawo.

Aby przemieścić się od punktu 3,-4 do punktu 6,-8 ponownie wystarczy “przejść” cztery jednostki w dół i trzy jednostki w prawo.

Podobnie jest między każdymi dwoma kolejnymi punktami kratowymi.

RNcIPt1XpVEKH
Polecenie 3
R1498KQVB67xr
Aby “przejść” od jednego punktu należącego do prostej do innego, wystarczy przemieścić się o ku jednostek w prawo i pe jednostek: - w: możliwe odpowiedzi:dół / górę dla pe mniejsze od zera - w: możliwe odpowiedzi: dół / górę dla pe większe od zera

Słownik

punkt kratowy
punkt kratowy

punkt o współrzędnych będących liczbami całkowitymi