Jeśli chcemy zapisać w postaci sumy potęgę lub potęgę możemy skorzystać z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia. W przypadku, gdy wykładnik potęgi jest większy, potęgę możemy zapisać w postaci iloczynu i wykonać odpowiednie mnożenie.
Na przykład:
Analizując podany przykład można zauważyć, że zamiana potęgi różnicy na sumę za pomocą mnożenia, jest pracochłonna i łatwo przy tym popełnić błąd. Warto więc skorzystać z innych metod określania wyrazów szukanej sumy.
Zastosowanie trójkąta Pascala
Przyjrzyjmy się kolejnym zapisom w postaci sumy wyrażenia , gdzie – liczba naturalna.
R6MkXJs96GlMw
W otrzymanej sumie pierwszy wykładnik, do której podniesiona jest liczba jest równy potędze rozważanego dwumianu. Każdy kolejny wykładnik jest mniejszy o od poprzedniego, aż do ostatniego, który jest równy . Wykładniki liczby zmieniają się w odwrotnej kolejności – wzrastają od do wykładnika, do którego podniesiony jest rozważany dwumian. W każdym ze składników suma wykładników liczb i jest równa potędze, do której podniesiony jest dwumian . Znak „minus” poprzedza co drugi składnik.
Aby znaleźć rozwinięcia kolejnych potęg dwumianu , stworzymy najpierw tablicę współczynników liczbowych poprzednich rozwinięć.
RI19wiV14FiCa
Zauważmy, że skrajne liczby w uzyskanym „trójkącie” (zwanym trójkątem Pascala) to jedynki. Liczby w kolejnych wierszach powstają poprzez dodanie dwóch sąsiednich liczb z wiersza stojącego wyżej. Korzystające z tej obserwacji, dopisujemy kolejne wiersze.
R1Lpycz7tleVd
Możemy teraz utworzyć następny wzór.
Zapiszemy nasze spostrzeżenia w postaci twierdzenia.
–ta potęga różnicy
Twierdzenie: –ta potęga różnicy
Dla każdej liczby naturalnej parzystej i liczb , :
gdzie: liczby są kolejnymi liczbami w –tym wierszu trójkąta Pascala.
Dla każdej liczby naturalnej nieparzystej i liczb , :
gdzie: liczby są kolejnymi liczbami w –tym wierszu trójkąta Pascala.
Przykład 1
Zapiszemy w postaci sumy wyrażenie .
Rozwiązanie:
Korzystamy z powyższego twierdzenia, odczytując potrzebne współczynniki w wierszu trójkąta Pascala.
R3JQRLiyhuOMt
Przykład 2
Znajdziemy szósty wyraz rozwinięcia potęgi .
Rozwiązanie:
Odpowiedni współczynnik liczbowy odczytujemy z trójkąta Pascala.
R71okBRrxEBhb
Jest to liczba .
W rozwinięciu dwumianu wykładniki potęg liczby zmniejszają się, a liczby zwiększają się.
Zatem iloczyn potęg tych liczb będzie równy .
Stąd wyraz szósty to:
Zastosowanie dwumianu Newtona
Korzystając z trójkąta Pascala łatwo jest zapisać w postaci sumy jednomianów potęgę różnicy o niewielkim wykładniku. Natomiast w przypadku dużego wykładnika, trudno jest znaleźć potrzebne współczynniki. Prostszy sposób wyznaczania tych współczynników to wykorzystanie wzoru dwumianowego Newtona, zwanego krótko dwumianem Newtonadwumian Newtonadwumianem Newtona.
Dwumian Newtona
Twierdzenie: Dwumian Newtona
Jeżeli , są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest liczbą naturalną parzystą, to
Jeżeli , są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest liczbą naturalną nieparzystą, to
Aby móc korzystać z dwumianu Newtona, przypominijmy, że (czytamy: nad lub po ) to tzw. symbol Newtona.
, dla
Przypomnijmy jeszcze, że zapis (czytamy: silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych dodatnich, nie większych od .