Przypomnijmy najpierw definicję ciągu.

Ciąg nieskończony
Definicja: Ciąg nieskończony

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Ciąg skończony
Definicja: Ciąg skończony

Ciągiem skończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór n liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., n.

Na podstawie definicji ciągu wiemy, że ciąg jest pewną funkcją. Zatem sposoby opisywania ciągów są analogiczne, jak sposoby opisywania funkcji.

Ciąg często zapisujemy, wypisując jego kolejne wyrazy.

W przypadku ciągów nieskończonychciąg nieskończonyciągów nieskończonych wypisujemy  kilka początkowych wyrazów ciągu. Na podstawie tych wyrazów orientujemy się, jakie będą wyrazy następne.

Przykład 1

-8, 4, 0, 9, -11 – ciąg pięciowyrazowy skończony, którego kolejnymi wyrazami są liczby: -8, 4, 0, 9, -11,

0, 2, 4, 6, 8, ... – nieskończony ciąg, którego wyrazami są kolejne liczby naturalne parzyste,

11, 12, 13, 14, 15, ... – nieskończony ciąg, którego wyrazami są odwrotności kolejnych liczb naturalnych dodatnich.

Wypisywanie wyrazów ciągu i zauważenie regularności, według której są tworzone, nie zawsze jest wygodne i łatwe.

Najczęściej ciągi liczbowe opisywane są więc za pomocą wzoru,  zwanego wzorem ogólnym ciągu. Znając wzór ogólny ciągu, można obliczyć jego dowolny wyraz.

Przykład 2

Obliczymy pięć początkowych wyrazów ciągu an o wzorze ogólnym
an=n+1.

Do wzoru postawiamy kolejne liczby naturalne.

a1=1+1=2,

a2=2+1=3,

a3=3+1=4=2,

a4=4+1=5,

a5=5+1=6.

W niektórych przypadkach na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu można ustalić regułę, według której one powstają. Pozwala to zapisać wzór ogólny ciągu (z reguły jednak znając początkowe wyrazy ciągu można podać różne wzory opisujące ten ciąg).

Przykład 3

Kolejne wyrazy ciągu

Przykład wzoru ogólnego

1, 5, 5, 9, 9, ...

an=-1n+2n

2, 4, 8, 16, 32, ...

bn=2n

15, 26, 37, 48, 59, ...

cn=nn+4

Na podstawie wzoru ciągu, można badać niektóre własności ciągu.

Przykład 4

Ciąg an określony jest wzorem ogólnym an=2n+n2.

Znajdziemy wszystkie takie wyrazy ciągu ak, że k jest liczbą pierwszą i 2k+k2 jest też liczbą pierwszą.

Liczba 2k+k2 jest liczbą większą od 2. Jako liczba pierwsza jest więc liczbą nieparzystą.

Zatem k jest liczbą nieparzystą.

Wówczas 2k w dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Natomiast k2 w dzieleniu przez 3 daje resztę 0 lub 1.

Aby suma 2k+k2 nie była podzielna przez 3, to k musi być liczbą podzielną przez 3.

Ponieważ k jest liczbą pierwszą, zatem k=3.

Wtedy 23+32=17.

Odpowiedź:

W ciągu an istnieje tylko jeden wyraz o szukanej własności, jest to wyraz a3.

Przykład 5

Ciąg an określony jest wzorem ogólnym: an=n. Znajdziemy w tym  ciągu  cztery kolejne wyrazy, których iloczyn powiększony o 45 jest kwadratem liczby naturalnej. Zauważmy, że kolejne wyrazy ciągu różnią się o 1.

Oznaczmy:
a, a+1, a+2, a+3 – kolejne wyrazy ciągu,
x – liczba będąca kwadratem liczby naturalnej.

Na podstawie treści zadania zapisujemy równanie, którego rozwiązania będziemy poszukiwać.

aa+1a+2a+3+45=x2

Przekształcamy otrzymane równanie.

aa+1a+2a+3+1024=x2

a ( a + 1 ) ( a + 2 ) ( a + 3 ) = x 2 1024

a4+6a3+11a2+6a=x2-1024

a2+3a+12-1=x2-1024

Oznaczmy:
a2+3a+1=y.

y2-1=x2-1024

Rozwiązujemy równanie

x2-y2=1023

Ponieważ 1023 = 3 11 31 , stąd

x 2 y 2 = 3 11 31

( x y ) ( x + y ) = 3 11 31

Prawa strona zapisanej równości jest dodatnia, zatem lewa też musi być dodatnia.

Zatem

x-yx+y=1·1023y=511

lub

x-yx+y=3·341y=169

lub

x-yx+y=11·93y=41

lub

x-yx+y=31·33y=1

Jedynie y=41 jest wartością trójmianu a2+3a+1 dla liczby naturalnej, a=5.

Zatem

5·6·7·8+1024=522

Odpowiedź:

Kolejne szukane wyrazy ciągu to a5, a6, a7, a8.

Nie zawsze łatwo jest podać wzór ogólny ciągu.

Na przykład wyrazy ciągu:

1,73; 1 , 732 ; 1,7320; 1,73205; ...

to kolejne przybliżenia liczby 3. W takim przypadku sposób tworzenia wyrazów ciągu możemy podać słownie.

Przykład 6
  • Ciągiem skończonymciąg skończonyCiągiem skończonym jest lista lekcji, które odbywają się w środy w klasie IIc.

    Kolejnym liczbom naturalnym przyporządkowane są nazwy odpowiednich przedmiotów szkolnych.

    1 geografia

    2 j. polski

    3 matematyka

    4 historia

    5 fizyka

  • Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 6 przyporządkowujemy sumę cyfr iloczynu tej liczby i liczby 104.

    Wyrazy tego ciągu:

    a1=1+4=5

    a2=2+8=10

    a 3 = 3 + 1 + 2 = 6

    a4=4+1+6=11

    a5=5+2=7

  • Ciąg dn określony jest następująco: dn oznacza liczbę dzielników naturalnych liczby naturalnej dodatniej n.

    Kilka początkowych wyrazów ciągu:

    d1=1

    d2=2

    d3=2

    d4=3

    d5=2

Ciągi można też przedstawiać graficznie.

Jeśli ciąg liczbowy an określony jest wzorem an=fn to jego wykres w układzie współrzędnych jest zbiorem punktów n, fn, gdzie n należy do dziedziny funkcji.

Przykład 7

Rysunek przedstawia wykres ciągu an=n-2 dla 1n9n.

R15vKipddRCks

Z wykresu możemy odczytać na przykład, że:

a1=-1,

a4=0,

a9=1.

Przykład 8

Sporządzimy wykres ciągu an określonego wzorem an=-n+4 dla n1, 2, 3, 4, 5, 6.

Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu.

a1=-1+4=3

a2=-2+4=2

a3=-3+4=1

a4=-4+4=0

a5=-5+4=-1

a6=-6+4=-2

Wykresem ciągu jest zbiór punktów n, an=n, -n+4. Zaznaczamy te punkty w układzie współrzędnych.

R1Tsa6aPEEoAx

Ciąg an, przedstawiony na rysunku powyżej, można opisać za pomocą zbioru uporządkowanych par

1, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 0, 5, -1, 6, -2.

Słownik

ciąg nieskończony
ciąg nieskończony

ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich

ciąg skończony
ciąg skończony

ciągiem skończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór n liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., n