Warto przeczytać

Położenie ciała poruszającego się ruchem drgającym zazwyczaj opisuje się wybierając za punkt odniesienia położenie równowagi ciała. Gdy drgania zachodzą wzdłuż osi Ox, a $x=0$ odpowiada położeniu równowagi, zależność położenia od czasu w ruchu harmonicznym opisuje wyrażenie

gdzie $A$ – amplituda drgań, $\omega$ – częstość kołowaczęstość kołowa drgańczęstość kołowa, $\left(\omega t+\phi \right)$ – faza drgańfaza drgańfaza drgań wyrażona w radianachradianradianach, a $\phi$ – faza początkowa, czyli faza drgań dla $t$ = 0.

Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym opisuje funkcja

widać więc, że przyspieszenie i wychylenie są związane warunkiem

wektor przyspieszenia ma więc w każdej chwili czasu zwrot przeciwny do wychylenia. Maksymalna wartość przyspieszenia, nazywana też amplitudą przyspieszenia, jest równa

Jest ona proporcjonalna do amplitudy drgań i kwadratu częstości kołowej drgań $\omega =2\pi f$, gdzie $f$ oznacza częstotliwość drgań.

Gdy faza początkowa jest równa zeru, to

Ciekawe jest porównanie przebiegu wykresów wychylenia, współrzędnej prędkości i przyspieszenia tego samego oscylatora harmonicznegooscylator harmonicznyoscylatora harmonicznego (Rys. 1.). Można zauważyć, że prędkość jest przesunięta w fazie w stosunku do wychylenia o $\pi$/2, a przyspieszenie o $\pi$.

RQJSW2B9sQJYg

Rys. 1. Ilustracja przedstawia 3 układy współrzędnych, których pionowe osie leżą na jednej linii prostej. W każdym z układów na osi poziomej odłożono czas oznaczony literą małe t. W górnym układzie na osi pionowej odłożono wychylenie oznaczone literą małe x, w środkowym układzie na osi pionowej odłożono prędkość oznaczoną literą małe v z indeksem dolnym x, w dolnym układzie na osi pionowej odłożono przyspieszenie oznaczone literą małe a z indeksem dolnym x. Wykres w górnym układzie, przedstawiający zależność wychylenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu i wznosi się w górę i w prawo, osiągając maksimum. Następnie wykres opada w prawo i w dół, przecina oś poziomą i osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej. Dalej wykres znów wznosi się w górę i w prawo i przebieg krzywej powtarza się. Pierwszy punkt przecięcia sinusoidy z osią poziomą oznaczono wzorem: jedna druga razy wielkie T, drugi punkt przecięcia oznaczono literą wielkie T, trzeci punkt przecięcia oznaczono wzorem: trzy drugie razy wielkie T, czwarty punkt przecięcia oznaczono wzorem: 2 razy wielkie T. Narysowano poziomy, przerywany odcinek między osią pionową i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe x indeksem dolnym max równa się wielkie A. Nad wykresem zapisano wyrażenie: wielkie A razy sinus, którego argument to małe omega razy małe t. Wykres w środkowym układzie, przedstawiający zależność prędkości od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w na osi pionowej, powyżej osi poziomej, w punkcie odpowiadającym maksymalnej prędkości i opada w prawo i w dół i przecina oś poziomą. Wykres osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej, którego współrzędna czasu wynosi jedna druga razy wielkie T. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo, przecina oś poziomą i osiąga maksimum w punkcie powyżej osi poziomej, którego współrzędna czasu wynosi wielkie T. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksima i minima wykresu prędkości odpowiadają tym samym chwilom na osi czasu, co zerowe wychylenia na wykresie wychylenia. Natomiast zerowe prędkości odpowiadają maksimom i minimom na wykresie wychylenia. Narysowano poziomy, przerywany odcinek między osią pionową i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe v indeksem dolnym max równa się małe omega razy wielkie A. Nad wykresem zapisano wyrażenie: wielkie A razy małe omega razy sinus, którego argument to małe omega razy małe t. Wykres w dolnym układzie, przedstawiający zależność przyspieszenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu i opada w prawo i w dół i osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo i przecina oś poziomą w punkcie, którego współrzędna czasu wynosi jedna druga razy wielkie T. Wykres osiąga maksimum w punkcie powyżej osi poziomej. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksimom na wykresie przyspieszenia odpowiadają minima na wykresie wychylenia, a minimom na wykresie przyspieszenia odpowiadają maksima na wykresie wychylenia Narysowano poziomy, przerywany odcinek między osią pionową i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe a indeksem dolnym max równa się małe omega kwadrat razy wielkie A. Nad wykresem zapisano wyrażenie: minus wielkie A razy małe omega kwadrat razy sinus, którego argument to małe omega razy małe t.

Gdy faza początkowa jest równa $\pi$/2, to w chwili początkowej wychylenie jest równe amplitudzie drgań i ciało porusza się w stronę położenia równowagi. Zależność wychylenia, prędkości przyspieszenia od czasu opisują funkcje

a uproszczenia polegały na skorzystaniu ze wzorów redukcyjnych:

Wykresy tych zależności przedstawia Rys. 2.

R1cPjHN86XzgM

Rys. 2. Ilustracja przedstawia 3 układy współrzędnych, których pionowe osie leżą na jednej linii prostej. W każdym z układów na osi poziomej odłożono czas oznaczony literą małe t. W górnym układzie na osi pionowej odłożono wychylenie oznaczone literą małe x, w środkowym układzie na osi pionowej odłożono prędkość oznaczoną literą małe v z indeksem dolnym x, w dolnym układzie na osi pionowej odłożono przyspieszenie oznaczone literą małe a z indeksem dolnym x. Wykres w górnym układzie, przedstawiający zależność wychylenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się na osi pionowej w punkcie maksymalnego wychylenia i opada w dół i w prawo, przecinając oś poziomą i osiągając minimum w punkcie o współrzędnej czasu jedna druga razy wielkie T. Następnie wykres wznosi się prawo i w górę, przecina oś poziomą i osiąga maksimum w punkcie o współrzędnej czasu wielkie T. Dalej wykres znów opada w dół i w prawo i przebieg krzywej powtarza się. Narysowano poziomy, przerywany odcinek między osią pionową i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe x indeksem dolnym max równa się wielkie A. Nad wykresem zapisano wyrażenie: wielkie A razy sinus, którego argument to małe omega razy małe t. Wykres w środkowym układzie, przedstawiający zależność prędkości od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu i opada w prawo i w dół i osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej jedna druga razy wielkie T. Wykres osiąga maksimum w punkcie powyżej osi poziomej. Następnie opada w prawo i dół i przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej wielkie T. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksima i minima wykresu prędkości odpowiadają tym samym chwilom na osi czasu, co zerowe wychylenia na wykresie wychylenia. Natomiast zerowe prędkości odpowiadają maksimom i minimom na wykresie wychylenia. Narysowano poziomy, przerywany odcinek między osią pionową i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe v indeksem dolnym max równa się małe omega razy wielkie A. Nad wykresem zapisano wyrażenie: wielkie A razy małe omega razy sinus, którego argument to małe omega razy małe t. Wykres w dolnym układzie, przedstawiający zależność przyspieszenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się na osi pionowej w punkcie na osi pionowej poniżej osi poziomej, gdzie przyspieszenie osiąga minimum. Wykres wznosi się w prawo i w górę, osiągając maksimum w punkcie powyżej osi poziomej, którego współrzędna czasu wynosi jedna druga razy wielkie T. Następnie wykres opada w dół i w prawo, przecina oś poziomą i osiąga minimum w punkcie poniżej osi poziomej, którego współrzędna czasu wynosi wielkie T. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksimom na wykresie przyspieszenia odpowiadają minima na wykresie wychylenia., a minimom na wykresie przyspieszenia odpowiadają maksima na wykresie wychylenia. Narysowano poziomy, przerywany odcinek między osią pionową i punktem maksymalnym wykresu. Przy odcinku zapisano równanie: małe a indeksem dolnym max równa się małe omega kwadrat razy wielkie A. Nad wykresem zapisano wyrażenie: minus wielkie A razy małe omega kwadrat razy sinus, którego argument to małe omega razy małe t.

W ogólności, gdy faza początkowa jest różna od zera, wykresy $x\left(t\right)$, $v\left(t\right)$ i $a\left(t\right)$ są przesunięte wzdłuż osi czasu w kierunku przeciwnym do znaku $\phi$. Gdy $\phi >0$ , to wykresy są przesunięte przeciwnie do kierunku osi czasu, a gdy $\phi <0$ - zgodnie z jej kierunkiem.

Przykład 1.

Zapisz wyrażenie opisujące zależność przyspieszenia od czasu oscylatora harmonicznego o amplitudzie $A$ = 0,05 m, okresie $T$ = 1 s i fazie początkowej $\pi$/2. Przedstaw tę zależność na wykresie.

Częstość kołowa z definicji równa jest $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi rad/s$

Amplituda przyspieszenia wynosi

Zależność przyspieszenia od czasu dla fazy początkowej $\pi$/2 ma postać

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

R14yQafWTwcpT

Rys. 3. Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono czas oznaczony literą małe t w sekundach, na osi pionowej odłożono przyspieszenie oznaczone literą małe a w metrach na sekundę kwadrat. Wykres to sinusoida, która zaczyna się na osi pionowej poniżej osi poziomej, o współrzędnych: czas 0 sekund, przyspieszenie minus 2 metry na sekundę kwadrat. Krzywa wznosi się w prawo i w górę, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,5 sekundy, przyspieszenie 2 metry na sekundę kwadrat. Następnie wykres opada w prawo i w dół osiągając minimum w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, przyspieszenie minus 2 metry na sekundę kwadrat. Na wykresie widoczne jest jeszcze jedno maksimum w punkcie o współrzędnych: czas 1,5 sekundy, przyspieszenie 2 metry na sekundę kwadrat, oraz jedno minimum w punkcie o współrzędnych: czas dwie sekundy, przyspieszenie minus 2 metry na sekundę kwadrat.

Przykład 2.

Zapisz równania i narysuj na jednym układzie współrzędnych wykresy zależności przyspieszenia od czasu dla dwóch oscylatorów harmonicznych o tej samej amplitudzie drgań $A$ = 0,08 m i fazie początkowej $\phi$ = 0, ale różnych częstotliwościach: