Wykażemy, że funkcja $f\left(x\right)=\log (\sqrt{1+x^2}-x)$ jest nieparzysta. Określimy najpierw dziedzinę funkcji, wynikającą z definicji logarytmu. Jeśli zmienna jest liczbą niedodatnią, to łatwo widać, że  wartość wyrażenia logarytmowanego jest dodatnia. Rozpatrzymy więc przypadek, gdy zmienna ma wartość dodatnią.

$\sqrt{1+x^2}-x>0$

$\sqrt{1+x^2}>x$

$1+x^2>x^2$

$1>0$

Otrzymaliśmy  nierówność prawdziwą dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej, zatem (w połączeniu z poprzednimi rozważaniami):   $D=ℝ$.

Funkcja $f$ jest nieparzysta, gdy dla każdej liczby $x\in D$, liczba $(-x)\in D$ oraz $f(-x)=-f\left(x\right)$.

Ponieważ $D=ℝ$, zatem dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, liczba $(–x)$ należy również do dziedziny tej funkcji.

Wyznaczymy wzór funkcji $f(-x)$.

$f(-x)=\log (\sqrt{1+x^2}+x)$

Przekształcamy wzór funkcji, rozszerzając wyrażenie logarytmowane przez $\sqrt{1+x^2}-x$.

Ponieważ $(\sqrt{1+x^2}+x)\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}-x}=\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}-x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}$,

stąd $f\left(-x\right)=\log \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}\right)$.

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu, przekształcając wyrażenie logarytmowane.

$f(-x)=\log 1-\log (\sqrt{1+x^2}-x)=0-\log (\sqrt{1+x^2}-x)$

$f(-x)=-\log (\sqrt{1+x^2}-x)$

$f(-x)=-f\left(x\right)$ - co oznacza, że funkcja $f$ jest nieparzysta.

Określimy, dla jakich liczb rzeczywistych $x$ spełniona jest nierówność ${\left({\log }_{0,5}x\right)}^2>100$.

Oznaczmy: ${\log }_{0,5}x=t$, pamiętając, że $x>0$.

Rozpatrywana nierówność przybiera postać $t^2>100$.

Stąd $t>10$ lub $t<-10$.

Wynika z tego, że ${\log }_{0,5}x>10$ lub ${\log }_{0,5}x<-10$.

Podstawa logarytmu jest mniejsza od $1$, więc

${\log }_{0,5}x>10\iff 0<x<(0,5{)}^{10}$

${\log }_{0,5}x<-10\iff x>(0,5{)}^{-10}$

Odpowiedź: $x\in (0;0,5^{10})\cup (0,5^{-10};\mathrm{\infty })$.

Określimy, dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^2-2x+{\log }_{0,1}k=0$ ma dwa różne pierwiastki.

Na podstawie definicji logarytmu wiemy, że $k>0$.

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy $\mathrm{\Delta }>0$.

$\mathrm{\Delta }=2^2-4{\log }_{0,1}k$

Rozwiązujemy nierówność.

$4-4{\log }_{0,1}k>0$

$1-{\log }_{0,1}k>0$

${\log }_{0,1}k<1\iff {\log }_{0,1}k<{\log }_{0,1}0,1$

Podstawa logarytmu jest liczbą mniejszą od $1$. Funkcja $y={\log }_{0,1}x$ jest malejąca. Zatem $k>0,1$.

Liczba $k$ musi więc spełniać koniunkcję nierówności $k>0$ i $k>0,1$, stąd $k>0,1$.

Odpowiedź: $k\in (0,1;\mathrm{\infty })$.

Jeżeli $a>0,a\ne 1,b>0,b\ne 1,k\in R,k\ne 0,p\in R$, to

Obliczymy wartość wyrażenia $W={\log }_{3^4}{9}^6+{\log }_{{10}^{-2}}{10}^5$, korzystając z twierdzenia o logarytmie potęgTwierdzenie o logarytmie potęgtwierdzenia o logarytmie potęg.

$W={\log }_{{}^{{}_{}^{3^4}}}{9}^6+{\log }_{{10}^{-2}}{10}^5$

$W=\frac{6}{4}{\log }_{3}9+\frac{5}{-2}{\log }_{10}10=\frac{3}{2}·2-2,5·1=3-2,5=0,5$

Liczby dodatnie $(a, b, c)$ tworzą ciąg geometryczny rosnący. Suma tych liczb jest równa $62$, a suma ich logarytmów dziesiętnych jest równa $3$. Znajdź te liczby.

Oznaczmy: $q$ – iloraz rozpatrywanego ciągu.

Liczby $(a, b, c)$ tworzą ciąg geometryczny, zatem możemy zapisać:

$a$ – pierwszy wyraz ciągu,

$b=aq$ – drugi wyraz ciągu,

$c=a{q}^2$ – trzeci wyraz ciągu.

Suma logarytmów dziesiętnych wyrazów ciągu  jest równa $3$, zatem

$\log a+\log aq+\log a{q}^2=3$.

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.

$\log \left(a·aq·a{q}^2\right)=3$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi.

$\log (aq{)}^3=3$

$3\log \left(aq\right)=3/:3$

$\log \left(aq\right)=1$

$\log \left(aq\right)=\log 10$

$aq=10$

Stąd $a=\frac{10}{q}$ ($q\ne 0$, bo ciąg jest rosnący).

Wiemy też, że suma wyrazów ciągu jest równa $62$.

$a+aq+a{q}^2=62$

Podstawiamy do zapisanego równania w miejsce a wyznaczoną liczbę i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$\frac{10}{q}+\frac{10}{q}·q+\frac{10}{q}·q^2=62$

$\frac{10}{q}+10+10q=62/·q$

$10+10q+10q^2=62q/:2$

$5q^2-26q+5=0$

$\mathrm{\Delta }=676-100=576>0$

$q_1=\frac{26-24}{10}=\frac{1}{5}<1$ - nie spełnia warunków zadania, bo ciąg ma być rosnący.

$q_2=\frac{26+24}{10}=5>1$ – spełnia warunki zadania.

Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu.

$a=\frac{10}{5}=2$

$b=2·5=10$

$c=10·5=50$

Odpowiedź: szukane liczby to $2$, $10$, $50$.

Obliczymy ile cyfr w rozwinięciu dziesiętnym ma liczba $2^{20}$.

Logarytmujemy liczbę $2^{20}$.

$\log 2^{20}=20\log 2$

Odczytujemy z tablic logarytmicznych przybliżoną wartość $\log 2$.

$\log 2\approx 0,3010$

Zatem $\log 2^{20}\approx 20·0,3010=6,02$.

Wstawiamy znalezioną wartość do wzoru na liczbę cyfr.

$S\left(2^{20}\right)=\left[\log 2^{20}\right]+1=[6,02]+1=6+1=7$

Odpowiedź: liczba $2^{20}$ w rozwinięciu dziesiętnym ma $7$ cyfr.

Wykażemy, że ${\log }_{6}7+{\log }_{7}6>{\log }_{7}8+{\log }_{8}7$.

Zapisana nierówność jest równoważna nierówności ${\log }_{6}7+{\log }_{7}6-{\log }_{7}8-{\log }_{8}7>0$.                                     

Oznaczmy: ${\log }_{7}6=x, {\log }_{7}8=y$.                                               

Zauważmy przy tym że $x<y$.                                           

Lewa strona zapisanej wyżej nierówności przyjmuje wtedy postać

$L=\left(\frac{1}{x}+x\right)-\left(\frac{1}{y}+y\right)=\frac{1}{x}+x-\frac{1}{y}-y$

$L=\frac{y-x}{xy}+\left(x-y\right)=\frac{(y-x)(1-xy)}{xy}$

Z nierówności $0<x<y$ wynika, że aby lewa strona dowodzonej nierówności była dodatnia, musi być spełniony warunek $1-xy>0$. Aby to wykazać, korzystamy z zależności między średnią geometryczną, a arytmetyczną.

$\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$

Ponieważ ${\log }_{7}6<1,{\log }_{7}8<1$, stąd

$\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}<1$, czyli $xy<1$, więc $1-x y>0$.

Wynika stąd, że $L>0$, czyli ${\log }_{6}7+{\log }_{7}6-{\log }_{7}8-{\log }_{8}7>0$, co kończy dowód.

jeżeli $a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1, k\in R, k\ne 0, p\in R$ to ${\log }_{a^k}{b}^p=\frac{p}{k}{\log }_{a}b$