Przypomnijmy, że wielokąt foremny to taki wielokąt, w którym wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają równe długości. Ponadto na każdym wielokącie foremnym możemy opisać okrąg - jego środek znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków. Środek okręgu opisanego na wielokącie foremnym jest środkiem ciężkości (barycentrum) tego wielokąta. Jest też środkiem symetrii gwiaździstej (obrotowej)symetria obrotowa (gwiaździsta)symetrii gwiaździstej (obrotowej) tej figury.

RqGK8wMJ4llw0

Rysunek przedstawia okrąg opisany na trójkącie równobocznym oraz dwie ukośne proste, z których każda przebiega przez jeden wierzchołek trójkąta i przez środek okręgu.

RRk4xTafMIinp

Rysunek przedstawia okrąg opisany na kwadracie oraz dwie ukośne proste, z których każda przebiega przez środki równoległych boków kwadratu i przez środek okręgu.

RAPU0gikvru9C

Rysunek przedstawia okrąg opisany na pięciokącie foremnym oraz dwie ukośne proste, z których każda przebiega przez środek okręgu. Wybrano jeden bok pięciokąta. Pierwsza prosta biegnie przez lewy wierzchołek tego boku, przez środek okręgu i dalej przez środek boku przeciwległego do wierzchołka. Drugi wierzchołek wybranego boku należy do drugiej prostej, która biegnie także przez środek okręgu i bok przeciwległy do tego wierzchołka.

RINYiLFqAzYXn

Rysunek przedstawia okrąg opisany na sześciokącie foremnym oraz dwie ukośne proste. Każda prosta przebiega przez dwa przeciwległe boki i przez środek okręgu.

RrUbY47PcvAcr

Rysunek przedstawia okrąg opisany na siedmiokącie foremnym oraz dwie ukośne proste, z których każda przebiega przez środek okręgu. Wybrano jeden bok siedmiokąta. Pierwsza prosta biegnie przez lewy wierzchołek tego boku, przez środek okręgu i dalej przez środek boku przeciwległego do wierzchołka. Drugi wierzchołek wybranego boku należy do drugiej prostej, która biegnie także przez środek okręgu i bok przeciwległy do tego wierzchołka.

Rjw6EFaOqwfmh

Rysunek przedstawia okrąg opisany na ośmiokącie foremnym oraz dwie ukośne proste. Każda prosta przebiega przez dwa przeciwległe boki o wspólnym wierzchołu i przez środek okręgu.

Przypomnijmy również, że kąt półpełny ma $180°$ w mierze stopniowej i $\pi$ radianów w mierze łukowej. Miary dowolnych kątów można przeliczać z jednej miary na drugą rozwiązując proporcję ($\alpha$ oznacza miarę stopniową kąta, $x$ oznacza miarę łukową tego samego kąta)

lub skorzystać z wynikających z niej wzorów

Rozważmy teraz wielokąt foremny o $n$ bokach ($n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, $n\ge 3$). Wówczas miara środkowego kątaKąt środkowyśrodkowego kąta $\alpha$ opartego na cięciwie będącej bokiem wielokąta to $\frac{360°}{n}$ lub $\frac{2\pi }{n}$$\left[\text{rad}\right]$.

R1DkA79wj06De

Rysunek przedstawia wielokąt foremny, na którym opisano okrąg o środku K. Wybrano jeden bok wielokąta i opisano jego wierzchołki jako A i B. Kąt A K B oznaczono jako kąt alfa.

Przykład 1

Miara kąta środkowego opartego na boku pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg jest równa $\frac{2\pi }{5}$ radianów.

RjZdPpQX6zCQQ

Rysunek przedstawia pięciokąt foremny A B C D E, na którym opisano okrąg o środku w punkcie F. Zaznaczono kąt A F E o mierze dwa pi przez pięć i opisano ten kąt jako alfa równe 72 stopnie.

Miarę kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego możemy obliczyć, korzystając z sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta. Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta $AKB$ jest równa $180°$ lub $\pi$$\left[\text{rad}\right]$.

R1II42oZPER7O

Rysunek przedstawia wielokąt foremny, na którym opisano okrąg o środku w punkcie K. Z wielokąta wybrano dwa sąsiadujące ze sobą boki i opisano je jako L A oraz A B. Zaznaczono również następujące kąty: L K A to kąt alfa, A K B to kąt alfa, A L K to kąt gama, podobnie kąt A B K to kąt gama oraz kąt L A B to kąt 2 gama.

Zatem

lub w mierze łukowej

Miarę kąta wewnętrznego można też wyznaczyć korzystając ze znanego wzoru na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta. Wzór orzeka, że suma miar kątów wewnętrznych $n$-kąta jest równa $180°\left(n-2\right)$ lub $\pi \left(n-2\right)$$\left[\text{rad}\right]$. Ponieważ w wielokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne są przystające, więc miarę jednego z nich otrzymamy po podzieleniu sumy miar wszystkich kątów przez ich liczbę

Przykład 2

Obliczymy na dwa sposoby miarę kąta między bokami ośmiokąta foremnego:

RO41TtnZycyt1

Rysunek przedstawia ośmiokąt foremny A B C D E F G H, na którym opisano okrąg o środku w punkcie I. Na ilustracji zaznaczono dwa kąty i kilka odcinków. Odcinki to: A I, B I oraz C I. Kąty to: kąt A I B ma miarę pi czwartych i jest opisany jako kąt alfa równy 45 stopni. Kąt A B C ma miarę trzy pi czwartych i jest opisany jako beta równe 135 stopni.

a) Kąt środkowy oparty na boku ośmiokąta wpisanego w dany okrąg ma miarę $\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$. Miara kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego $ABI$ utworzonego przez dwa promienie okręgu oraz bok ośmiokąta weń wpisanego jest równa $\frac{1}{2}·\left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)$, zaś miara kąta między bokami ośmiokąta to $2·\frac{1}{2}·\left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{4}$ radianów.

b) Ze wzoru na sumę $S$ miar kątów wewnętrznych $n$ - kąta wypukłego $S=\left(n-2\right)\mathit{·}\pi$, obliczamy, że suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta jest równa $\left(8-2\right)\mathit{·}\pi =6\pi$. Zatem miara jednego kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego to $\frac{6\pi }{8}=\frac{3\pi }{4}$ radianów.

Miara kąta wpisanegoKąt wpisany w okrągkąta wpisanego opartego na cięciwie będącej bokiem wielokąta jest równa połowie miary kąta środkowego, więc

RXERYZKjg9867

Rysunek przedstawia wielokąt foremny, na którym opisano okrąg o środku w punkcie K. Wybrano jeden bok wielokąta i jego wierzchołki opisano jako A i B. Pominięto kolejny wierzchołek za wierzchołkiem B i następny po pominiętym opisano literą L. Zaznaczono dwa kąty: kąt A K B to kąt alfa oraz kąt A L B to kąt beta.

Przykład 3

Miara kąta wpisanego w okrąg opisany na pięciokącie foremnym opartego na boku tego pięciokąta to $\frac{1}{2}·\frac{2\pi }{5}=\frac{\pi }{5}$ radianów.

R1458M1jmn1xU

Rysunek przedstawia pięciokąt foremny A B C D E, na którym opisano okrąg o środku w punkcie F. Na ilustracji zaznaczono trzy kąty: A F E o mierze dwa pi przez pięć i opisano ten kąt jako alfa równe 72 stopnie, kąt A C E o mierze pi przez pięć i opisano ten kąt jako gama równe 36 stopni oraz kąt A D E o mierze pi przez pięć i opisano ten kąt jako beta równe 36 stopni.

Aby wyznaczyć miarę kąta zewnętrznego wielokąta foremnego, wystarczy od miary kąta półpełnego odjąć miarę kąta wewnętrznego tego wielokąta:

R1UYwD0oBYBVL

Rysunek przedstawia wielokąt foremny, na którym opisano okrąg o środku K. Wybrano jeden bok wielokąta i opisano jego wierzchołki jako A i B. Kąt A K B oznaczono jako kąt alfa. Przez punkty A i B poprowadzono prostą. Między prostą a bokiem sąsiadującym z bokiem A B oznaczono kąt delta.

lub

Ten sam wynik można uzyskać korzystając z faktu, że suma miar wszystkich kątów zewnętrznych dowolnego $n$-kąta jest równa $720°$, czyli $4\pi$. Ponieważ wszystkie kąty zewnętrzne wielokąta foremnego są przystające, więc miarę jednego z nich możemy wyznaczyć dzieląc sumę miar wszystkich przez ich liczbę

Słownik