Przypomnijmy, że wielokąt foremny to taki wielokąt, w którym wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary i wszystkie boki mają równe długości. Ponadto na każdym wielokącie foremnym możemy opisać okrąg - jego środek znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków. Środek okręgu opisanego na wielokącie foremnym jest środkiem ciężkości (barycentrum) tego wielokąta. Jest też środkiem symetrii gwiaździstej (obrotowej)symetria obrotowa (gwiaździsta)symetrii gwiaździstej (obrotowej) tej figury.
RqGK8wMJ4llw0
RRk4xTafMIinp
RAPU0gikvru9C
RINYiLFqAzYXn
RrUbY47PcvAcr
Rjw6EFaOqwfmh
Przypomnijmy również, że kąt półpełny ma w mierze stopniowej i radianów w mierze łukowej. Miary dowolnych kątów można przeliczać z jednej miary na drugą rozwiązując proporcję ( oznacza miarę stopniową kąta, oznacza miarę łukową tego samego kąta)
,
lub skorzystać z wynikających z niej wzorów
,
oraz .
Rozważmy teraz wielokąt foremny o bokach (, ). Wówczas miara środkowego kątaKąt środkowyśrodkowego kąta opartego na cięciwie będącej bokiem wielokąta to lub .
R1DkA79wj06De
Przykład 1
Miara kąta środkowego opartego na boku pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg jest równa radianów.
RjZdPpQX6zCQQ
Miarę kąta wewnętrznego -kąta foremnego możemy obliczyć, korzystając z sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta. Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa lub .
R1II42oZPER7O
Zatem
lub w mierze łukowej
.
Miarę kąta wewnętrznego można też wyznaczyć korzystając ze znanego wzoru na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta. Wzór orzeka, że suma miar kątów wewnętrznych -kąta jest równa lub . Ponieważ w wielokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne są przystające, więc miarę jednego z nich otrzymamy po podzieleniu sumy miar wszystkich kątów przez ich liczbę
lub .
Przykład 2
Obliczymy na dwa sposoby miarę kąta między bokami ośmiokąta foremnego:
RO41TtnZycyt1
a) Kąt środkowy oparty na boku ośmiokąta wpisanego w dany okrąg ma miarę . Miara kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego utworzonego przez dwa promienie okręgu oraz bok ośmiokąta weń wpisanego jest równa , zaś miara kąta między bokami ośmiokąta to radianów.
b) Ze wzoru na sumę miar kątów wewnętrznych - kąta wypukłego , obliczamy, że suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta jest równa . Zatem miara jednego kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego to radianów.
Miara kąta wpisanegoKąt wpisany w okrągkąta wpisanego opartego na cięciwie będącej bokiem wielokąta jest równa połowie miary kąta środkowego, więc
lub .
RXERYZKjg9867
Przykład 3
Miara kąta wpisanego w okrąg opisany na pięciokącie foremnym opartego na boku tego pięciokąta to radianów.
R1458M1jmn1xU
Aby wyznaczyć miarę kąta zewnętrznego wielokąta foremnego, wystarczy od miary kąta półpełnego odjąć miarę kąta wewnętrznego tego wielokąta:
R1UYwD0oBYBVL
lub
.
Ten sam wynik można uzyskać korzystając z faktu, że suma miar wszystkich kątów zewnętrznych dowolnego -kąta jest równa , czyli . Ponieważ wszystkie kąty zewnętrzne wielokąta foremnego są przystające, więc miarę jednego z nich możemy wyznaczyć dzieląc sumę miar wszystkich przez ich liczbę
lub .
Przykład 4
Aby obliczyć miarę kąta zewnętrznego ośmiokąta foremnego, wystarczy od miary kąta półpełnego odjąć miarę kąta wewnętrznego. W przykładzie obliczyliśmy, że miara kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego ma miarę , zatem miara kąta wewnętrznego to radianów.
Słownik
symetria obrotowa (gwiaździsta)
symetria obrotowa (gwiaździsta)
przekształcenie płaszczyzny, w którym obrazem dowolnego punktu jest taki punkt , który powstaje w wyniku obrotu punktu wokół ustalonego punktu płaszczyzny o ustalony kąt
kąt środkowy
kąt środkowy
kąt o wierzchołku w środku danego okręgu
kąt wpisany w okrąg
kąt wpisany w okrąg
kąt, którego wierzchołek znajduje się na okręgu, zaś ramiona przecinają ten okrąg