Przeczytaj
Jak należy rozumieć sformułowanie „walec opisany na kuli”? Jak wykreślić rysunek pomocniczy w zadaniu dotyczącym walca opisanego na kuli? W odpowiedzi na te pytania pomoże nam aplet Geogebry.
![](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1OF66IjV9EmM/1636419398/2DeFzYy1m16coRaqgLwzCjaLNSk2u6Hr.png)
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D91vUltc2
Walec jest opisany na kuli wtedy i tylko wtedy, gdy kula jest styczna do dwóch podstaw walca i do każdej tworzącej walcatworzącej walca.
Walec można opisać na kuli tylko wtedy, gdy średnica podstawy walca oraz wysokość walca są tej samej długości.
Zadania dotyczące walca opisanego na kuli sprowadzimy do prostych zadań geometrii płaskiej. Na rysunku poniżej przedstawiono przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca opisanego na kuli. Przekrój osiowy tych brył jest kwadratem opisanym na kole. Spostrzeżenie to pomoże nam w uproszczeniu planowania strategii rozwiązania wielu zadań geometrii przestrzennej.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1afTrhhv5Hnc/1636419399/1nU9zsEHWRAiZ14dAwFRCuSzymj7XJEQ.png)
Dla przejrzystości rysunku, przekrój osiowy kuliprzekrój osiowy kuli wystarczy wykreślić jako okrąg.
Tak wykreślony rysunek jest punktem startowym w planowaniu kolejnych kroków. Ważnym elementem rozwiązania zadania jest analiza własności otrzymanych figur oraz związków miarowych zachodzących między odcinkami tych figur.
Rozważmy przekrój osiowy walca opisanego na kuli. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Określimy najważniejsze związki miarowe zachodzące pomiędzy odcinkami przekroju osiowego tych brył.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono punkty stanowiące środki boków i zarazem punkty styczności okręgu z kwadratem. Odpowiednio. Punkt H na boku AD, punkt S na boku AB oraz punkt K na boku BC. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r, Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem K i oznaczono go wielką literą R.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R10cPpfW5QAhh/1636419399/2i6oIdZLsxB08zZpc9MvqmcKoID4EGzN.png)
- długość promienia kuli;
- długość promienia podstawy walca;
- długość wysokości walca.
Zauważmy, że
długość promienia kuli jest równa długości promienia podstawy walca opisanego na tej kuli ;
długość wysokości walca opisanego na kuli jest równa długości średnicy tej kuli .
Oblicz objętość kuli wpisanej w walec, którego objętość wynosi .
Rozwiązanie
Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono punkty stanowiące środki boków i zarazem punkty styczności okręgu z kwadratem. Odpowiednio. Punkt H na boku AD, punkt S na boku AB oraz punkt K na boku BC. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r, Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem K i oznaczono go wielką literą R.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1DnH4EFWKWa6/1636419400/WVM5CpIBpEomjtKatb8bL7Zvlp7McDZL.png)
- długość promienia kuli;
- długość promienia podstawy walca;
- długość wysokości walca;
- objętość walca;
- objętość kuli.
Wiedząc, że długość promienia podstawy walca i długość promienia kuli są równe oraz, że długość wysokości walca odpowiada długości średnicy kuli, otrzymujemy odpowiednio
,
zatem .
Zauważmy, że do obliczenia objętości kuli potrzebujemy wielkości , zatem .
Oblicz długość promienia kuli wpisanej w walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem o przekątnej długości .
Rozwiązanie
Wykreślamy rysunek obrazujący przekrój osiowy kuli wpisanej w walec.
Przyjmujemy oznaczenia. Oznaczenia pomogą w prowadzeniu toku rozumowania.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono punkty stanowiące środki boków i zarazem punkty styczności okręgu z kwadratem. Odpowiednio. Punkt H na boku AD, punkt S na boku AB oraz punkt K na boku BC. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r, Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem S i oznaczono go wielką literą R. Linią przerywaną połączono przeciwległe wierzchołki A i C i oznaczono go literą m.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1CEgVpj4NnPN/1636419400/4s4h4iguZZblf4cS4g9ho33gqUcpoHkb.png)
- długość promienia kuli;
- długość promienia podstawy walca;
- długość przekątnej przekroju osiowego walca.
Zauważmy, że przekrojem osiowym walca jest kwadrat o boku długości , zatem przekątna przekroju osiowego walca jest opisana zależnością . Wynika stąd, że .
Walec opisano na kuli. Pole powierzchni całkowitej walca wynosi . Wyznacz objętość kuli.
Rozwiązanie
Wykreślamy przekrój osiowy tych brył i przyjmujemy oznaczenia.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Na boku AB zaznaczono punkt S, stanowiący środek boku oraz punkt styczności okręgu z kwadratem. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r. Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem S i oznaczono go wielką literą R.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RRgvThMuIVWbD/1636419401/173Uk7imFa5DQFHjF0NjvPzihTjzSaEY.png)
- długość promienia kuli;
- długość promienia podstawy walca;
- długość wysokości walca.
Zauważmy, że przekrojem osiowym walca jest kwadrat o boku długości . Stąd mamy odpowiednio zależności:
i .
Ponadto z warunków zadania mamy zależność
,
zatem podstawiając odpowiednio mamy
,
stąd ,
zatem .
Objętość kuli obliczamy ze wzoru .
Otrzymujemy
.
W puszce w kształcie walca umieszczono dwie piłki tenisowe, jak na rysunku. Jaką część objętości puszki stanowi objętość obu piłek. Przyjmujemy, że każda piłka do tenisa ma średnicę . Wykreśl przekrój osiowy puszki z umieszczonymi tam dwiema piłkami, wiedząc, że długość wysokości puszki jest równa długości średnicy obu piłek oraz, że długość średnicy puszki jest równa długości średnicy piłki tenisowej.
![Na ilustracji przedstawiono pojemnik na piłki tenisowe w kształcie walca. W pojemniku znajdują się dwie piłki, ułożone jedna na drugiej styczne do obu podstaw i pola bocznego pojemnika.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R6lZARH3NM5h0/1636419401/1oX4a6KA2jjMh5jBUZi9q3TqYcK1TZlg.png)
Rozwiązanie
Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano prostokąt D E F G. Długość dłuższego boku oznaczono wielką literą H. W prostokąt wpisano dwa takie same okręgi w taki sposób, że każdy okrąg jest styczny do drugiego okręgu oraz dwóch dłuższych boków prostokąta i jednego krótszego. Środki okręgów oznaczono O1 oraz O2. Linią przerywaną zaznaczono oś symetrii figury, przechodzącą przez środki obu okręgów i przecinającą krótszy bok DE w punkcie S. Odległość punktu S od wierzchołka E oznaczono wielką literą R.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/REDbLnxDGR2oQ/1636419401/1EThGqNroK1J5fNY1O575irHLfbkVLAG.png)
- długość wysokości puszki;
- długość promienia podstawy puszki oraz długość promienia piłki tenisowej.
Przekrojem osiowym walca opisanego na dwóch zewnętrznie stycznych kulach jest prostokąt opisany na dwóch zewnętrznie stycznych kołach.
Wynika stąd, że i . Zatem objętość puszki
.
Objętość obu piłek
.
Stąd .
Walec opisano na kuli o promieniu . Oblicz objętość części walca zawartej pomiędzy powierzchnią walca a powierzchnią kuli.
![Na ilustracji przedstawiono walec opisany na kuli o promieniu R. Kolorem niebieskim zacieniowano przestrzeń walca, znajdującą się poza obszarem kuli.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R15srTwgF9scA/1636419402/ARhEi2OCsCgiug9nkhGvD3MHU77jnv45.png)
Rozwiązanie
Wykreślmy rysunek pomocniczy i przyjmijmy oznaczenia.
![Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Na boku CB zaznaczono punkt K, stanowiący środek boku oraz punkt styczności okręgu z kwadratem. Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem K.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rk2nDJbOJe2PA/1636419402/liJM4vHzFjPBMyvEFHUS54HVjkj4kev1.png)
- długość promienia kuli;
- długość wysokości walca.
Przekrój osiowy walca opisanego na kuli jest kwadratem o boku długości równej długości średnicy kuli. Objętość części walca zawartej pomiędzy powierzchnią walca a powierzchnią kuli obliczymy jako różnicę objętości walca i objętości kuli. Mamy zatem
.
Słownik
przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca. Przekrój osiowy walca jest prostokątem
przekrój kuli płaszczyzną zawierającą oś obrotu kuli. Przekrój osiowy kuli jest kołem
każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca o końcach należących do jego podstaw