Oblicz objętość kuli wpisanej w walec, którego objętość wynosi $343\pi {\mathrm{cm}}^3$.

Rozwiązanie

Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

R1DnH4EFWKWa6

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono punkty stanowiące środki boków i zarazem punkty styczności okręgu z kwadratem. Odpowiednio. Punkt H na boku AD, punkt S na boku AB oraz punkt K na boku BC. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r, Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem K i oznaczono go wielką literą R.

$R=\left|OK\right|$ - długość promienia kuli;
$r=\left|SB\right|$ - długość promienia podstawy walca;
$H=\left|AD\right|$ - długość wysokości walca;
$V_{\mathrm{w}}=\pi r^{2}H$ - objętość walca;
$V_k=\frac{4}{3}\pi R^3$ - objętość kuli.

Wiedząc, że długość promienia podstawy walca i długość promienia kuli są równe oraz, że długość wysokości walca odpowiada długości średnicy kuli, otrzymujemy odpowiednio

$\pi r^{2}H=343\pi$

$\pi R^2·2R=343\pi$,

zatem $R^3=\frac{343}{2}$.

Zauważmy, że do obliczenia objętości kuli potrzebujemy wielkości $R^3$, zatem $V_k=\frac{4}{3}\pi ·\frac{343}{2}=\frac{686\pi }{3} \left[{\mathrm{cm}}^3\right]$.

Oblicz długość promienia kuli wpisanej w walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem o przekątnej długości $m$.

Rozwiązanie

Wykreślamy rysunek obrazujący przekrój osiowy kuli wpisanej w walec.
Przyjmujemy oznaczenia. Oznaczenia pomogą w prowadzeniu toku rozumowania.

R1CEgVpj4NnPN

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono punkty stanowiące środki boków i zarazem punkty styczności okręgu z kwadratem. Odpowiednio. Punkt H na boku AD, punkt S na boku AB oraz punkt K na boku BC. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r, Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem S i oznaczono go wielką literą R. Linią przerywaną połączono przeciwległe wierzchołki A i C i oznaczono go literą m.

$R=\left|OS\right|$ - długość promienia kuli;

$r=\left|SB\right|$ - długość promienia podstawy walca;

$m=\left|AC\right|$ - długość przekątnej przekroju osiowego walca.

Zauważmy, że przekrojem osiowym walca jest kwadrat o boku długości $2R$, zatem przekątna przekroju osiowego walca jest opisana zależnością $m=2R\sqrt{2}$. Wynika stąd, że $R=\frac{m\sqrt{2}}{4}$.

Walec opisano na kuli. Pole powierzchni całkowitej walca wynosi $2S$. Wyznacz objętość kuli.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy tych brył i przyjmujemy oznaczenia.

RRgvThMuIVWbD

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Na boku AB zaznaczono punkt S, stanowiący środek boku oraz punkt styczności okręgu z kwadratem. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono literą r. Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem S i oznaczono go wielką literą R.

$R=\left|OS\right|$ - długość promienia kuli;

$r=\left|SB\right|$ - długość promienia podstawy walca;

$H=\left|AD\right|$ - długość wysokości walca.

Zauważmy, że przekrojem osiowym walca jest kwadrat o boku długości $2R$. Stąd mamy odpowiednio zależności:

$r=R$ i $H=2R$.

Ponadto z warunków zadania mamy zależność

$2\pi r\left(r+H\right)=2S$,

zatem podstawiając odpowiednio mamy

$2\pi R\left(R+2R\right)=2S$,

stąd $3\pi R^2=S$,

zatem $R=\sqrt{\frac{S}{3\pi }}$.

Objętość kuli obliczamy ze wzoru $V_k=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Otrzymujemy

$V_k=\frac{4}{3}\pi {\left(\sqrt{\frac{S}{3\pi }}\right)}^3=\frac{4\pi }{3}·\frac{S}{3\pi }\sqrt{\frac{S}{3\pi }}=\frac{4S\sqrt{S}}{9\sqrt{3\pi }}=\frac{4S\sqrt{3\pi S}}{27\pi }$.

W puszce w kształcie walca umieszczono dwie piłki tenisowe, jak na rysunku. Jaką część objętości puszki stanowi objętość obu piłek. Przyjmujemy, że każda piłka do tenisa ma średnicę $6,5 \mathrm{cm}$. Wykreśl przekrój osiowy puszki z umieszczonymi tam dwiema piłkami, wiedząc, że długość wysokości puszki jest równa długości średnicy obu piłek oraz, że długość średnicy puszki jest równa długości średnicy piłki tenisowej.

R6lZARH3NM5h0

Na ilustracji przedstawiono pojemnik na piłki tenisowe w kształcie walca. W pojemniku znajdują się dwie piłki, ułożone jedna na drugiej styczne do obu podstaw i pola bocznego pojemnika.

Rozwiązanie

Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

REDbLnxDGR2oQ

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano prostokąt D E F G. Długość dłuższego boku oznaczono wielką literą H. W prostokąt wpisano dwa takie same okręgi w taki sposób, że każdy okrąg jest styczny do drugiego okręgu oraz dwóch dłuższych boków prostokąta i jednego krótszego. Środki okręgów oznaczono $O_1$ oraz $O_2$. Linią przerywaną zaznaczono oś symetrii figury, przechodzącą przez środki obu okręgów i przecinającą krótszy bok DE w punkcie S. Odległość punktu S od wierzchołka E oznaczono wielką literą R.

$H=\left|EF\right|$ - długość wysokości puszki;
$R=\left|SE\right|$ - długość promienia podstawy puszki oraz długość promienia piłki tenisowej.

Przekrojem osiowym walca opisanego na dwóch zewnętrznie stycznych kulach jest prostokąt opisany na dwóch zewnętrznie stycznych kołach.

Wynika stąd, że $R=\frac{13}{4} \mathrm{cm}$ i $H=13 \mathrm{cm}$. Zatem objętość puszki

$V_p=\pi r^{2}H=\pi {\left(\frac{13}{4}\right)}^2·13=\frac{2197}{16}\pi$.

Objętość obu piłek

$2V_k=2·\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\pi }{3}·{\left(\frac{13}{4}\right)}^3=\frac{2197\pi }{24}$.

Stąd $\frac{V_p}{2V_k}=\frac{3}{2}$.

Walec opisano na kuli o promieniu $R$. Oblicz objętość części walca zawartej pomiędzy powierzchnią walca a powierzchnią kuli.

R15srTwgF9scA

Na ilustracji przedstawiono walec opisany na kuli o promieniu R. Kolorem niebieskim zacieniowano przestrzeń walca, znajdującą się poza obszarem kuli.

Rozwiązanie

Wykreślmy rysunek pomocniczy i przyjmijmy oznaczenia.

Rk2nDJbOJe2PA

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Na boku CB zaznaczono punkt K, stanowiący środek boku oraz punkt styczności okręgu z kwadratem. Zaznaczono odcinek łączący środek okręgu z punktem K.

$R=\left|OK\right|$ - długość promienia kuli;
$H=\left|AD\right|$ - długość wysokości walca.

Przekrój osiowy walca opisanego na kuli jest kwadratem o boku długości równej długości średnicy kuli. Objętość części walca zawartej pomiędzy powierzchnią walca a powierzchnią kuli obliczymy jako różnicę objętości walca i objętości kuli. Mamy zatem

$V=\pi R^2·2R-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$.

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca. Przekrój osiowy walca jest prostokątem

przekrój kuli płaszczyzną zawierającą oś obrotu kuli. Przekrój osiowy kuli jest kołem

każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca o końcach należących do jego podstaw