Rozważmy równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$, $\Delta =b^2-4ac$.

1. Jeżeli $\Delta >0$, to równanie ma dwa pierwiastki $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.

2. Jeżeli $\Delta =0$, to równanie ma jeden pierwiastek, nazwany podwójnym pierwiastkiem $x_0=\frac{-b}{2a}$.

3. Jeżeli $\Delta <0$, to równanie nie ma pierwiastków.

Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Rozwiążemy równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne $\frac{3x^2-9x-30}{2x+1}=0$.

$2x+1\ne 0$

$x\ne -\frac{1}{2}$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Zapiszemy teraz licznik ułamka algebraicznego w postaci iloczynowej.

$\frac{3·\left(x+2\right)\left(x-5\right)}{2x+1}=0$

Ułamek równa się zero jeżeli licznik ułamka jest równy zero.

$3·\left(x+2\right)\left(x-5\right)=0$

$x=-2$ lub $x=5$

$-2\in D$, $5\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $\left(-2\right)$, $5$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^2-4}{x+4}=x$.

Określimy dziedzinę równania.

$x+4\ne 0$

$x\ne -4$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$

$\frac{x^2-4}{x+4}=\frac{x}{1}$

Korzystając z własności proporcji otrzymujemy:

$x^2-4=x^2+4x$

$x=-1\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $\left(-1\right)$.

Rozwiążemy równanie, którego licznik i mianownik są wielomianami stopnia drugiegowielomian stopnia drugiegowielomianami stopnia drugiego.

$\frac{x^2+5x+4}{2x^2+8x+6}=\frac{1}{x}$

Wyznaczymy najpierw dziedzinę równania.

$2x^2+8x+6\ne 0$ i $x\ne 0$

$2·\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ne 0$

$x\ne -3$ i $x\ne -1$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3, -1, 0\right\}$

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej:

$\frac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}{2·\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}$

Skracamy ułamek z lewej strony równania, dzieląc licznik i mianownik przez $x+1$, $\left(x\ne -1\right)$.

$\frac{x+4}{2·\left(x+3\right)}=\frac{1}{x}$

Mnożymy „na krzyż”.

$x\left(x+4\right)=2·\left(x+3\right)$

$x^2+4x=2x+6$

$x^2+2x-6=0$

$\Delta =4+24=28$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{7}$

$x_1=\frac{-2-2\sqrt{7}}{2}=-1-\sqrt{7}\in D$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt{7}}{2}=-1+\sqrt{7}\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $-1-\sqrt{7}$, $-1+\sqrt{7}$.

Wykażemy, że równanie $\frac{9x^2+6x+1}{3x+1}=0$ jest sprzeczne.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

Przyrównujemy licznik ułamka do zero.

$9x^2+6x+1=0$

${\left(3x+1\right)}^2=0$

$3x+1=0$

$3x=1$

$x=-\frac{1}{3}\notin D$

Równanie nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy równanie $\left|\frac{x^2-1}{x+4}\right|=2$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$.

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\frac{x^2-1}{x+4}=2$ lub $\frac{x^2-1}{x+4}=-2$

$x^2-1=2·\left(x+4\right)$ lub $x^2-1=-2·\left(x+4\right)$

$x^2-2x-9=0$ lub $x^2+2x+7=0$

$\Delta =4+36=40\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{10}$ lub $\Delta =4-28=-24<0$ – brak rozwiązań

$x_1=\frac{2-2\sqrt{10}}{2}=1-\sqrt{10}$

$x_2=\frac{2+2\sqrt{10}}{2}=1+\sqrt{10}$

Równanie ma dwa rozwiązania $1-\sqrt{10}$, $1+\sqrt{10}$.

Rozwiążemy równanie z niewiadomą $x$ oraz przeprowadzimy dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od wartości parametru $a$.

$\frac{2a{x}^2-6ax}{x-3}=4a^2$

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

$\frac{2ax\left(x-3\right)}{x-3}=4a^2$

$2ax=4a^2$

Jest to równania liniowe. Rozwiązaniem rozpatrywanego równania wymiernego są te rozwiązania równania liniowego, które spełniają założenia.

1. Jeżeli $a\ne 0$, to $x=\frac{4a^2}{2a}$
   $x=2a$
   $2a\ne 3\Rightarrow a\ne \frac{3}{2}$

2. Jeżeli $a=0$, to $0x=0$

Jest to równanie tożsamościowe, spełnione przez każdą liczbę $x$ należącą do dziedziny równania.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$

wielomian postaci $a{x}^2+bx+c$, $a\ne 0$, zwany inaczej trójmianem kwadratowym